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| Aufgabe | Gegeben sei die Anfangswertaufgabe
[mm] y' - 4 y + x - 1 = 0[/mm]
[mm]y(0) = 1 [/mm]
welche die Eindeutige Lösung
[mm]y(x) = \bruch{19}{16} e^4x + \bruch {1}{4} x - \bruch {3}{16}[/mm]
besitzt
a) Verwenden sie das klassische Runge-Kutta-Verfahren mit der Schrittweite [mm]h=0,2[/mm] um einen Näherungswert für [mm]y(1)[/mm] zu erhalten. Schreiben sie dabei die Verfahrensvorschriften für das gegebene Problem aus. (Zum Beispiel lassen sich hier [mm]k_{2,j},k_{3,j},k_{4,j}[/mm] durch [mm]k_{1,j}[/mm] ausdrücken.)
b) Berechnen sie den relativen Fehler des erhaltenen Näherungswertes bezüglich y(1). |
Ich habe bereits versucht die Aufgabe zu Lösen. Mein errechneter Näherungswert weicht allerdings erheblich vom exakten Ergebnis ab. Ich fürchte ich habe mich hier entweder verrechnet, oder die Verfahrensforschrift nicht richtig verstanden. Ich würde mich freuen wenn mir hier jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Meine Lösung sieht folgendermaßen aus:
Explizite Form der DGL:
[mm] y' = 4 y - x + 1 = f(x,y) [/mm]
Runge-Kutta-Formel:
für äquidistante Stützstellen errechnet man
[mm] k_{1,j} = f(x_j,u_j) = 4 u_j - x_j + 1 [/mm]
[mm] k_{2,j} = k_{3,j} = f(x_j + h/2,u_j) = 4 u_j - x_j - \bruch{h}{2} + 1 = k_{1,j}-\bruch{h}{2} [/mm]
[mm] k_{4,j} = f(x_{j+1},u_j) = f(x_{j} + h,u_j) = 4 u_j - x_j - h + 1 = k_{1,j}-h [/mm]
und damit
[mm]
u_{j+1} = u_j + \bruch {h} {6} (k_{1,j} + 4 k_{2,j} + k_{4,j})[/mm]
[mm]
u_{j+1} = u_j + \bruch {h} {6} (k_{1,j} + 4 k_{1,j}-2h + k_{1,j}-h)[/mm]
[mm]
u_{j+1} = u_j + \bruch {h} {6} (6 k_{1,j} - 3h) = u_j + h (k_{1,j} - h/2) [/mm]
[mm]
u_{j+1} = u_j + h (4 u_j - x_j + 1 - h/2) [/mm]
mit der Letzten Formel und [mm]x_0 = 0; u_0 = 1[/mm] errechne ich nun folgende Wertetabelle
[mm]
\begin{matrix}
j & x_j & u_j \\
0 & 0.0 & 1.0 \\
1 & 0.2 & 1.98 \\
2 & 0.4 & 3.704 \\
3 & 0.6 & 6.7676 \\
4 & 0.8 & 12.24096 \\
5 & 1.0 & 22.053782
\end{matrix}
[/mm]
aus der exakten Lösung erhalte ich
[mm]y(1) = 64.897803 [/mm]
Das weicht also erheblich von meinem Näherungswert ab. Wo liegt mein Fehler?
vielen Dank im Voraus
Gruß Beebelbrox
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Hallo Beebelbrox,
> Gegeben sei die Anfangswertaufgabe
>
> [mm]y' - 4 y + x - 1 = 0[/mm]
> [mm]y(0) = 1[/mm]
>
> welche die Eindeutige Lösung
>
> [mm]y(x) = \bruch{19}{16} e^4x + \bruch {1}{4} x - \bruch {3}{16}[/mm]
>
> besitzt
>
> a) Verwenden sie das klassische Runge-Kutta-Verfahren mit
> der Schrittweite [mm]h=0,2[/mm] um einen Näherungswert für [mm]y(1)[/mm] zu
> erhalten. Schreiben sie dabei die Verfahrensvorschriften
> für das gegebene Problem aus. (Zum Beispiel lassen sich
> hier [mm]k_{2,j},k_{3,j},k_{4,j}[/mm] durch [mm]k_{1,j}[/mm] ausdrücken.)
>
> b) Berechnen sie den relativen Fehler des erhaltenen
> Näherungswertes bezüglich y(1).
> Ich habe bereits versucht die Aufgabe zu Lösen. Mein
> errechneter Näherungswert weicht allerdings erheblich vom
> exakten Ergebnis ab. Ich fürchte ich habe mich hier
> entweder verrechnet, oder die Verfahrensforschrift nicht
> richtig verstanden. Ich würde mich freuen wenn mir hier
> jemand auf die Sprünge helfen könnte.
>
> Meine Lösung sieht folgendermaßen aus:
>
> Explizite Form der DGL:
>
>
> [mm]y' = 4 y - x + 1 = f(x,y)[/mm]
>
> Runge-Kutta-Formel:
>
> für äquidistante Stützstellen errechnet man
>
> [mm]k_{1,j} = f(x_j,u_j) = 4 u_j - x_j + 1[/mm]
> [mm]k_{2,j} = k_{3,j} = f(x_j + h/2,u_j) = 4 u_j - x_j - \bruch{h}{2} + 1 = k_{1,j}-\bruch{h}{2}[/mm]
>
> [mm]k_{4,j} = f(x_{j+1},u_j) = f(x_{j} + h,u_j) = 4 u_j - x_j - h + 1 = k_{1,j}-h[/mm]
>
Die Formel nach dem Verfahren von Runge-Kutta lauten doch so:
[mm]k_{1,j} = f(x_j,u_j)[/mm]
[mm]k_{2,j} = f(x_j + \bruch{h}{2},u_j\red{+\bruch{1}{2}*h*k_{1,j}})[/mm]
[mm]k_{3,j} = f(x_j + \bruch{h}{2},u_j\red{+\bruch{1}{2}*h*k_{2,j}})[/mm]
[mm]k_{4,j} = f(x_j + h,u_j\red{+h*k_{3,j}})[/mm]
> und damit
>
> [mm]
u_{j+1} = u_j + \bruch {h} {6} (k_{1,j} + 4 k_{2,j} + k_{4,j})[/mm]
>
Dann muss hier dies stehen:
[mm]u_{j+1} = u_j + \bruch {h} {6} (k_{1,j} + \red{2} k_{2,j} \red{+2k_{3,j}}+ k_{4,j})[/mm]
Damit solltest DU auch auf die richtigen Werte kommen.
> [mm]
u_{j+1} = u_j + \bruch {h} {6} (k_{1,j} + 4 k_{1,j}-2h + k_{1,j}-h)[/mm]
>
> [mm]
u_{j+1} = u_j + \bruch {h} {6} (6 k_{1,j} - 3h) = u_j + h (k_{1,j} - h/2)[/mm]
>
> [mm]
u_{j+1} = u_j + h (4 u_j - x_j + 1 - h/2)[/mm]
>
> mit der Letzten Formel und [mm]x_0 = 0; u_0 = 1[/mm] errechne ich
> nun folgende Wertetabelle
>
> [mm]
\begin{matrix}
j & x_j & u_j \\
0 & 0.0 & 1.0 \\
1 & 0.2 & 1.98 \\
2 & 0.4 & 3.704 \\
3 & 0.6 & 6.7676 \\
4 & 0.8 & 12.24096 \\
5 & 1.0 & 22.053782
\end{matrix}
[/mm]
>
> aus der exakten Lösung erhalte ich
>
> [mm]y(1) = 64.897803[/mm]
>
> Das weicht also erheblich von meinem Näherungswert ab. Wo
> liegt mein Fehler?
>
> vielen Dank im Voraus
>
> Gruß Beebelbrox
>
Gruss
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