klass. Runge-Kutta Verfahren < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | In meinem Skript steht " Wenn man zwei Schritte mit der halben Schrittweite für das klassische Runge-Kutta Verfahren ausführt, muss man f an sieben zusätlichen Punkten auswerten, so dass man in jedem Schritt 11 Funktionsauswertungen benötigt"
Mit dem Tableau für das klassische Runge - Kutta Verfahren:
[mm] $\pmat{\alpha & & & & \\0 & & & & \\ 1/2 & 1/2 & & & \\ 1/2 & 0 & 1/2 & & \\ 1 & 0 & 0 & 1 & \\ \gamma & 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6}
[/mm]
oder in anderer Formulierung:
[mm] $k_1 [/mm] = [mm] f(x_n,y_n)$
[/mm]
[mm] $k_2 [/mm] = [mm] f(s_n [/mm] + [mm] \frac{h_n}{2},y_n+ \frac{h_n}{2}k_1)$
[/mm]
[mm] $k_2 [/mm] = [mm] f(s_n [/mm] + [mm] \frac{h_n}{2},y_n+ \frac{h_n}{2}k_2)$
[/mm]
[mm] $k_2 [/mm] = [mm] f(s_n [/mm] + [mm] \frac{h_n}{2},y_n+ \frac{h_n}{2}k_3)$
[/mm]
[mm] $y_{n+1} [/mm] = [mm] y_n [/mm] + [mm] h_n \frac{k_1 + 2k_2+2k_3+k_4}{6}$
[/mm]
Auch zu finden auf Seite 40 des Skriptes:
http://www.tu-harburg.de/mat/LEHRE/numsim.html |
Warum sind es nur 7 zusätzliche Stellen?
Zuerst mache ich einen Schritt mit ganzer Schrittweite und brauche vier Funktionsauswertungen.
Dann kann ich zur Fehlerschätzung zwei Schritte mit halber Schrittweite gehen und brauche, wenn ich zuerst [mm] $y_{n+1/2}$ [/mm] berechne, 4 Funktionsauswertungen.
Wenn ich dann ausgehend von [mm] $y_{n+1/2} [/mm] noch eine halbe Schrittweite nach vorne gehe zu [mm] $y_{n+1}$ [/mm] benötige ich nochmals 4 Funktionsauswertungen.
Zusammen also 12 Funktionsauswertungen.
|
|
| |
|
Hallo marthasmith,
Die Funktionsauswertung [mm] k_1=f(x_n,y_n) [/mm] wird hierbei 2 mal verwendet - Sowohl zur Berechnung von [mm] y_{n+1} [/mm] in einem Schritt als auch zur Berechnung von [mm] y_{\bruch{n+1}{2}}. [/mm] Das erklärt wohl warum es bei Deiner Rechnung einer mehr ist. Weiterlesen im Skript provoziert natürlich die Rückfrage: Warum sind eingebette Verfahren hier besser? Wieviele Funktionsauswertungen bräuchte man für das Verfahren von England?
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
Hallihallo,
man startet mit für die Ordnung p=4 mit fünf Funktionsauswertungen um eine Lösung [mm] $y_{n+1}$ [/mm] zu berechnen. Anschließend kann man diese fünf Funktionsauswertungen (mit anderen Gewichten) und eine weitere Funktionsauswertung verwenden um eine Lösung [mm] $\widetilde{y}_{n+1}$ [/mm] zu berechnen.
Aus diesen beiden Lösungen kann man dann eine optimale Schrittweite berechnen.
Man hat also nur sechs Funktionsauswertungen. Wobei die Zahl der Funktionsauswertungen nur dann relevant ist, wenn dieses viel Rechenzeit in Anspruch nimmt.
Siehst du das auch so?
Gruß
Alice
|
|
|
| |
|
Hallo Alice,
Ich denke die Anzahl der Funktionsauswertungen ist hier entscheidend, d.h. England ist i.d.R. schneller. Es sei denn Du hast Funktionen die nur aus + und * bestehen aber das ist ja eher die Ausnahme. Die Berechnung des sin bspw. ist sicher nicht sooo aufwendig aber ein paar flops gehen schon drauf 
Außerdem kannst auch mal die nötigen Operationen+/* zählen, die außerhalb der Funktionsauswertung nötig sind. Ich denke es herrscht zw. diesen Varianten England und klassisch RKV mit halber Schrittweite fast Gleichstand.
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
|
