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| Aufgabe | a) Sei G eine Gruppe und [mm] A\subseteq [/mm] G. Sei E(A) definiert durch
E(A):= [mm] \left\{a_{1}*...*a_{n} | n\in \mathbb N ,a_{i} \in A oder a_{i}^{-1} \in A \right\}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass E(A) die kleinste Untergruppe von G ist, die A enthält, d.h.
(i) E(A) [mm] \subseteq [/mm] G Untergruppe
(ii) Ist U [mm] \subseteq [/mm] G Untergruppe mit A [mm] \subseteq [/mm] U, so folgt E(A) [mm] \subseteq [/mm] U .
Wie sieht E(A) aus für den Fall, dass A einelementig ist? |
vielleicht kann mich jemand mal durch so einen beweis einer gruppe an der hand führen weil irgendwie scheine ich das nicht so richtig verstehen zu wollen :-(
Ich muss also zunächst beweisen, dass E(A) eine Gruppe ist!?
Dazu muss ich
(i)Verknüpfung
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M: x*y [mm] \in [/mm] M
(ii)Assoziativität
[mm] \forall x,y\in [/mm] M: (x*y)*z = x*(y*z)
(iii)neutrales Element
[mm] \exists e\in M:\forall x\in [/mm] M : e*x=x*e=x
(iv)inverses Element
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \exists y\in [/mm] M: x*y=e
ganz im Ernst, ich hab irgendwie keine so richtige Ahnung...
deswegen wäre es echt schön, wenn mir jemand einfach noch mal zeigen könnte, was ich jetzt genau machen muss.
(i)
Ich weiß ja, dass [mm] a_i, a_i^{-1} \in [/mm] E(A) oder?
wie zeige ich jetzt aber, dass
[mm] \forall a_i \in [/mm] E(A): [mm] a_i*a_{i+1} \in [/mm] E(A)?
Also einfach ein step by step wäre super, so dass ich wirklich jeden Schritt verstehen kann.
Nicht falsch verstehen, ihr sollt mir nicht die Lösung geben sondern vielleicht die Lösungsschritte benennen, so das ich sie umsetzen kann um so zum Ziel, dem Wissen, zu kommen.
Ich dachte nämlich bis gestern, dass ich dadurch, dass A [mm] \subseteq [/mm] G und E(A) definiert durch A bereits weiß, dass E(A) eine Gruppe mit neutralem Element und inversen ist und das dieses neutrale Element genau das gleiche ist, wie in G und A.
Ich bitte euch also um Hilfe
p.s. habe diese Frage auch in einem anderen Forum gepostet http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=432582
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 So 07.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> a) Sei G eine Gruppe und [mm]A\subseteq[/mm] G. Sei E(A) definiert
> durch
> E(A):= [mm]\left\{a_{1}*...*a_{n} | n\in \mathbb N ,a_{i} \in A oder a_{i}^{-1} \in A \right\}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass E(A) die kleinste Untergruppe von G ist,
> die A enthält, d.h.
>
> (i) E(A) [mm]\subseteq[/mm] G Untergruppe
> (ii) Ist U [mm]\subseteq[/mm] G Untergruppe mit A [mm]\subseteq[/mm] U, so
> folgt E(A) [mm]\subseteq[/mm] U .
>
> Wie sieht E(A) aus für den Fall, dass A einelementig ist?
Der Aufgabentext sollte noch beinhalten, dass A [mm] \not= \emptyset [/mm] sein muss.
Gemeint ist folgendes :
Von einer Gruppe G wird eine Teilmenge A von Gruppenelementen auswählt.
Ist A dann eine Untergruppe von G ? Im Allgemeinen natürlich nicht, weil wenn x und y in A enthalten sind, so muss x*y natürlich noch lange nicht drin sein.
Also erweitern wir die Menge um alle solchen Produkte, die man mit Elementen aus A bilden kann. Ist diese Erweiterung jetzt eine Gruppe ? Immer noch nicht, weil wenn x in dieser Menge ist, muss [mm] x^{-1} [/mm] noch lange nicht drin sein. Also muss die Menge nochmal erweitert werden, damit auch die Inversenbildung innerhalb dieser Menge möglich ist.
Ist die Erweiterung jetzt eine Gruppe oder müssen wir nochmal erweitern um die Produkte und Inversen der neu hinzugenommenen Elemente ?
Der Clou ist nun folgender :
Es ist nur erforderlich, die Inversen von Elementen von A hinzuzunehmen und die Produkte von Elementen von A und diesen Inversen. Die Produkte und Inversen dieser neu hinzugenommenen Elemente von G liegen dann automatisch schon in dieser Erweiterung drin. Der Erweiteungsprozess muss kein zweites Mal ausgeführt werden, nach dem ersten Schritt hat man eine Gruppe erzeugt. Diese Gruppe E(A) = { [mm] a_1*a_2*...*a_n [/mm] | n [mm] \in \IN,\ a_i \in [/mm] A oder [mm] a_i^{-1} \in [/mm] A } ist die "von A erzeugte Untergruppe" von G.
Jede Aussage des letzten Absatzes muss bewiesen werden.
>
> vielleicht kann mich jemand mal durch so einen beweis einer
> gruppe an der hand führen weil irgendwie scheine ich das
> nicht so richtig verstehen zu wollen :-(
>
>
> Ich muss also zunächst beweisen, dass E(A) eine Gruppe
> ist!?
Ja.
>
> Dazu muss ich
>
> (i)Verknüpfung
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] M: x*y [mm]\in[/mm] M
Ja
>
> (ii)Assoziativität
> [mm]\forall x,y\in[/mm] M: (x*y)*z = x*(y*z)
Muss nicht extra nachgewiesen werden, weil G ja eine Gruppe ist und weil die Multiplikation in M ja die gleiche ist wie in G und dort ist sie ja assoziativ.
>
> (iii)neutrales Element
> [mm]\exists e\in M:\forall x\in[/mm] M : e*x=x*e=x
Weil eine Untergruppe kein anderes neutrales Element als die ganze Gruppe haben kann, genügt es nachzuweisen, dass das neutrale Element von G in M liegt.
>
> (iv)inverses Element
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\exists y\in[/mm] M: x*y=e
Ja.
Es gibt ein Untergruppenkriterium, das hier mit Vorteil angewandt werden kann, sieh mal diesbezüglich in deinen Unterlagen nach. Falls ihr es noch nicht hattet, kommt es sicherlich noch dran, in diesem Fall geht es eben heute mal ohne.
>
> ganz im Ernst, ich hab irgendwie keine so richtige
> Ahnung...
>
> deswegen wäre es echt schön, wenn mir jemand einfach noch
> mal zeigen könnte, was ich jetzt genau machen muss.
>
>
>
> (i)
> Ich weiß ja, dass [mm]a_i, a_i^{-1} \in[/mm] E(A) oder?
> wie zeige ich jetzt aber, dass
> [mm]\forall a_i \in[/mm] E(A): [mm]a_i*a_{i+1} \in[/mm] E(A)?
>
Da musst du noch mal genau lesen, was du selber oben zu (i) geschrieben hast :
Vorausgesetzt wird, dass x und y in E(A) liegen. Gemäß der Definition von E(A) lässt sich also x als ein Produkt [mm] x_1*x_2*...*x_n [/mm] schreiben, wobei die [mm] x_i [/mm] oder die [mm] x_i^{-1} [/mm] in A liegen. Entsprechendes gilt für [mm] y=y_1*y_2*...*y_m.
[/mm]
Zu zeigen ist jetzt, dass dann auch das Produkt x*y in E(A) liegt.
>
> Also einfach ein step by step wäre super, so dass ich
> wirklich jeden Schritt verstehen kann.
> Nicht falsch verstehen, ihr sollt mir nicht die Lösung
> geben sondern vielleicht die Lösungsschritte benennen, so
> das ich sie umsetzen kann um so zum Ziel, dem Wissen, zu
> kommen.
Bei (iii) und (iv) kannst du dich an dem oben skizzierten Vorgehen orientieren.
Gruß Sax.
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Hallo,
danke erst mal für die Tolle Antwort. Für das Verständnis hat mir das schon sehr geholfen. Gerade das Verstehen der Untergruppe als solches. Dachte bis zuletzt es sei klar, dass A bereits eine Gruppe sei und das diese eben auch inverse und neutrales Element hat... Deswegen erschien mir das Beweisen von dem auch eher merkwürdig.
So macht es allerdings Sinn.
Das Werkzeug fehlt mir allerdings noch immer :(
(i)
[mm] \forall a_i \in [/mm] E(A): [mm] a_1*...*a_n
[/mm]
(iii)
[mm] \forall a_i \in [/mm] E(A) [mm] \exists [/mm] e: [mm] a_i*e=e*a_i=a_i
[/mm]
(iv)
[mm] \forall a_i \in [/mm] E(A) [mm] \exists a_i^{-1} \in E(A):a_i*a_i^{-1}=e
[/mm]
Aber das sind ja nun nur Behauptungen.
zur (i)
wie genau geht es denn jetzt los? Das was du gesagt hast macht Sinn.
[mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] sind Elemente von A und alle Elemente von A sind in E(A)
durch die Definition von E(A) ist auch [mm] a_1*a_2=a_i [/mm] und [mm] a_i^-1 [/mm] in E(A).
Das habe ich verstanden. Aber was mache ich damit?
Danke und Grüße
Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 So 07.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> zur (i)
> wie genau geht es denn jetzt los? Das was du gesagt hast
> macht Sinn.
>
> [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] sind Elemente von A und alle Elemente von A
> sind in E(A)
> durch die Definition von E(A) ist auch [mm]a_1*a_2=a_i[/mm] und
> [mm]a_i^-1[/mm] in E(A).
>
[mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] sind doch nur sehr spezielle Elemente von E(A), E(A) enthält doch viel mehr, eben auch solche, die nicht selbst in A enthalten sind.
Du musst zeigen, dass für zwei beliebige Elemente x und y aus E(A) das Produkt wieder in E(A) liegt.Wenn x in E(A) liegt, bedeutet das, dass es sich als Produkt von a-s oder [mm] a^{-1}-s [/mm] schreiben lässt, wobei die a-s und [mm] a^{-1}-s [/mm] (seltsame Pluralbildung) in A enthalten sind.
Das ist formal etwas schwer aufzuschreiben. Entweder schreibt man
x = [mm] a_{x_1}*a_{x_2}*...*a_{x_n} [/mm] mit [mm] a_{x_i} \in [/mm] A oder [mm] a_{x_i}^{-1} \in [/mm] A , was den Vorteil hat, dass deutlich wird, woher die Faktoren kommen, aber den Nachteil, dass man Doppelindizes verwenden muss. Oder man schreibt x = [mm] x_1*x_2*...*x_n [/mm] (Vor- und Nachteil umgekehrt).
In jedem Fall musst du jetzt nachrechnen, dass mit x = ... und y = ... auch x*y eine solche Produkt-Darstellung mit Faktoren oder deren Inversen aus A hat.
Entsprechendes dann noch mal für [mm] x^{-1}.
[/mm]
Gruß Sax.
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