koabzählbare Topologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a) Man zeige, dass die koabzählbare Topologie wirklich eine Topologie ist.
(b) Diese Topologie auf X ist genau dann diskret, wenn X abzählbar ist.
(c) In der koabzählbaren Topologie gilt [mm] x_{n}\to [/mm] a genau dann, wenn die Folge [mm] (x_{n}) [/mm] fast-konstant ist, d.h. es existiert ein m [mm] \in \IN [/mm] sodass [mm] x_{n} [/mm] = a für alle n [mm] \ge [/mm] m gilt. |
Die (a) war kein Problem.
Zur (b): diskrete Topologie hatten wir so definiert: Auf jeder Menge ist die Potenzmenge eine Topologie, wir nennen sie diskrete Topologie. In dieser Topologie ist jede Teilmenge von X sowohl offen als auch abgeschlossen.
-> natürlich kann ich die Potenzmenge einer abzählbaren Menge bilden, aber was soll das mit dem offen und abgeschlossen?
Zur (c): Ich hatte mir überlegt das durch Widerspruch zu lösen und anzunehmen, dass es für jedes m aus [mm] \IN [/mm] eben doch mindestens noch ein weiteres Folgenglied gibt, das ≠ a ist. Aber irgendwie hab ich's nicht hinbekommen....
Über Hilfe und Hinweise würde ich mich sehr freuen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mo 01.11.2010 | | Autor: | piet.t |
> (a) Man zeige, dass die koabzählbare Topologie wirklich
> eine Topologie ist.
> (b) Diese Topologie auf X ist genau dann diskret, wenn X
> abzählbar ist.
> (c) In der koabzählbaren Topologie gilt [mm]x_{n}\to[/mm] a genau
> dann, wenn die Folge [mm](x_{n})[/mm] fast-konstant ist, d.h. es
> existiert ein m [mm]\in \IN[/mm] sodass [mm]x_{n}[/mm] = a für alle n [mm]\ge[/mm] m
> gilt.
> Die (a) war kein Problem.
> Zur (b): diskrete Topologie hatten wir so definiert: Auf
> jeder Menge ist die Potenzmenge eine Topologie, wir nennen
> sie diskrete Topologie. In dieser Topologie ist jede
> Teilmenge von X sowohl offen als auch abgeschlossen.
> -> natürlich kann ich die Potenzmenge einer abzählbaren
> Menge bilden, aber was soll das mit dem offen und
> abgeschlossen?
Die Potenzmenge zu bilden ist hier nicht der spannendste Aspekt, sondern zu erkennen, dass für jede Menge die Potenzmenge auch eine Topologie bildet. Das habt ihr sicher in der Vorledung bereits gezeigt, aber wenn a) kein Problem war sollte es für dich auch nicht schwierig sein, das nochmal selbst nachzuprüfen.
Offene und abgeschlossene Mengen kennt man ja aus der Analysis. Die Topologie macht das ganze noch eine Stufe abstrakter und legt einfach (aber nicht ohne guiten Grund) fest, dass eine Menge M bezüglich einer Topologie T "offen" heißt, wenn [mm]M\in T[/mm].
Man nennt M "abgeschlossen" bezüglich T, wenn ihr Komplement offen ist.
Bei der diskreten Topologie ist also jede Teilmenge von X in der Topologie (sprich: in der Potenzmenge von X), somit ist auch jede Teilmenge offen.
Bei der Aufgabe ist nun nur zu zeigen, dass
1.) Wenn X abzählbar ist jede Teilmenge von X in der koabzählbaren Topologie enthalten ist.
2.) die entsprechende Gegenrichtung
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> Zur (c): Ich hatte mir überlegt das durch Widerspruch zu
> lösen und anzunehmen, dass es für jedes m aus [mm]\IN[/mm] eben
> doch mindestens noch ein weiteres Folgenglied gibt, das ≠
> a ist. Aber irgendwie hab ich's nicht hinbekommen....
>
Auch hier musst Du beachten, dass zwei Richtungen zu zeigen sind (genau dann!!).
Die Richtung "fast konstant => konvergent" ist nicht so schwer, für die andere Richtung würde ich zeigen "nicht fast konstant => nicht konvergent" und zwar ganz grob so:
- angenommen [mm](a_n)[/mm] konvergiert gegen a
- Wähle ein beliebiges [mm]m \in \IN[/mm] und sei [mm]M= \{a_n | n>m \wedge a_n \neq a\}[/mm]
- Zeige: Bezüglich der koabzählbaren Topologie ist $X [mm] \setminus [/mm] M$ eine Umgebung von a, in der nicht schließlich alle Folgenglieder liegen. Somit konvergiert [mm] $(a_n)$ [/mm] nicht gegen a.
Gruß
piet
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Vielen Dank für die schnelle ausführliche Antwort!
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