körper mit besonderen inversen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für welche Körper K gibt es [mm]a,b \in K[/mm] mit
[mm]a+b = 0[/mm]
[mm]a*b = 1[/mm] |
moin,
Diese Frage hat sich vor kurzem mal ergeben (fragt mich nicht wie ich drauf gekommen bin) - ist also keine "offizielle" Aufgabe.
Ich wüsste aber dennoch gern, ob es da irgend ein Muster gibt, irgend etwas was all die Körper gemeinsam haben.
Ich hab schon ein wenig rumüberlegt:
Es gilt für [mm]\IC[/mm] (a = i, b = -i), es gilt nicht für [mm]\IR[/mm] und auch nicht für [mm]\IQ[/mm].
Es gilt für alle Körper mit Charakteristik 2 (also zB für alle Körper mit gerader Elementanzahl) - wähle dort a=b=1.
Weiterhin gilt es für [mm]\IZ_5[/mm]: a=2, b=3.
Es gilt allerdings nicht für [mm]\IZ_3[/mm], nicht für [mm]\IZ_7[/mm] und auch nicht für [mm]\IZ_{11}[/mm].
Ich erkenne da leider keinerlei Muster oder irgend eine Gemeinsamkeit bei den Körpern.
Vielleicht weiß ja jemand worin genau sich die Körper in denen es solche a,b gibt und die in denen es sie nicht gibt unterscheiden...
|
|
| |
|
Hallo Shadowmaster,
ich bin - um ganz ehrlich zu sein - in Sachen Algebra ein blutiger Anfänger. Dennoch ist mir gerade beim Nachrechnen aufgefallen, dass die Sache für [mm] \IZ_{17} [/mm] ebenfalls gilt mit 4+13=0 und 4*13=1. Da es nun für [mm] \IZ_{5} [/mm] ebenfalls gilt, erinnert mich das an einen gewissen Fermat, ohne dass ich auch nur den Hauch einer plausiblen Erklärung hätte, geschweige denn mit irgendeinem Beweis dienen könnte. Aber du könntest ja den Fall [mm] \IZ_{257} [/mm] einmal selbst nachrechnen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo nochmal,
[mm] \IZ_{257}:
[/mm]
[mm] 16+241=257\equiv0 [/mm] (mod 257)
[mm] 16*241=3856\equiv1 [/mm] (mod 257)
Hm, ich weiß nicht ob es dir weiterhilft, aber mit den Körpern von der Ordnung einer Fermatschen Primzahl scheint es da etwas auf sich zu haben.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Tatsache, 16 und 241 klappen in [mm]\IZ_{257}[/mm].
Aber ich glaube das ist eher ein Zufall...
Ich hab mal [mm]\IZ_n[/mm] (ja, Ring, aber da kanns ja auch Inverse geben) für n<100 durchgerechnet und für folgende n klappt es:
2,5,10,13,17,25,26,29,34,37,41,50,53,58,61,65,73,74,82,85,89,97
Da sind ja auch ein paar Primzahlen dabei, die keine Fermat-Zahlen sind (zB 13), außerdem kannst du bei [mm]\IC[/mm] und sonstigen Körpern ja schlecht mit Fermat-Zahlen argumentieren.^^
Aber trotzdem danke schonmal. ;)
Ich hab auch nochmal überlegt und habe festgestellt:
Die gesuchte Menge von Körpern ist eine Obermenge der Menge von Körpern, in denen [mm]x^2 = -1[/mm] lösbar ist.
Also ist [mm]x^2 = -1[/mm] lösbar in K so ist auch das Gleichungssystem in selbigem Körper lösbar (Setze a = x, b = -x).
Ob die Mengen sogar gleich sind kann ich atm. leider weder zeigen noch widerlegen...
|
|
|
| |
|
So, wie ja im Post zuvor erwähnt ist meine gesuchte Menge auf jeden Fall eine Obermenge der Menge aller Körper, in denen [mm] x^2 [/mm] = -1 lösbar ist.
Jetzt hab ich auch einen Weg gefunden die andere Richtung zu zeigen.
Sei also K ein Körper, in dem das folgende Gleichungssystem lösbar ist:
a + b = 0
a*b = 1
Aus der zweiten Gleichung folgt, dass [mm]b = a^{-1}[/mm] (Eindeutigkeit der Inversen und so...).
In die erste Gleichung eingesetzt ergibt dies:
[mm]a + a^{-1} = 0 \gdw a = -a^{-1} \gdw a^2 = -1[/mm]
Das heißt jetzt also:
Das Gleichungssystem ist genau dann über einem Körper K lösbar, wenn [mm]x^2 = -1[/mm] über K lösbar ist.
Gesucht ist also die Menge aller Körper (oder von mir aus auch aller Ringe, falls es dafür auch was schönes gibt), in denen [mm]x^2 = -1[/mm] lösbar ist...
Gibts da irgendwelche Sätze für, irgendwelche Bedinungen/Gemeinsamkeiten die solche Körper haben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Mi 13.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [...]
> Das heißt jetzt also:
> Das Gleichungssystem ist genau dann über einem Körper K
> lösbar, wenn [mm]x^2 = -1[/mm] über K lösbar ist.
Das kann man auch so sehen: betrachte das Polynom [mm] $X^2 [/mm] + 1$. Dieses hat genau dann eine Nullstelle in $K$, wenn es $a, b$ gibt mit $a + b = 0$ und $a b = 0$ (multipliziere $(X - a) (X - b)$ aus).
> Gesucht ist also die Menge aller Körper (oder von mir aus
> auch aller Ringe, falls es dafür auch was schönes gibt),
> in denen [mm]x^2 = -1[/mm] lösbar ist...
Bei endlichen Koerpern gilt: ein Koerper der Ordnung $q$ hat genau dann ein solches Element, wenn $q - 1$ durch 4 teilbar ist. (Ausnahme: $q$ ist eine Zweierpotenz, dann ist das immer loesbar.)
Koerper der Charakteristik $p$ haben genau dann ein solches Element, wenn sie einen solchen endlichen Koerper enthalten. (Die Loesungen sind nach der obigen Gleichung ja algebraisch ueber dem Primkoerper; daraus sieht man auch, dass die Wurzel von -1 entweder im Primkoerper oder in einer quadratischen Erweiterung davon enthalten sein muss.)
In Charakteristik 0 enthaelt ein Koerper genau dann ein solches Element, wenn er einen Unterkoerper isomorph zu [mm] $\IQ(i)$ [/mm] hat. Oder anders gesagt: wenn es im Koerper eine quadratische Erweiterung des Primkoerpers gibt, in der das Polynom [mm] $X^2 [/mm] + 1$ eine Nullstelle hat.
Allgemeiner kann man das nicht formulieren, eigentlich. Es gibt dafuer einfach zu viele Koerper. Entweder enthalten sie eine primitive vierte Einheitswurzel oder sind von Charakteristik 2, oder sie das Gleichungssystem hat eben keine Loesung.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Auch wenn ich die Hälfte der Begriffe noch nicht kenne weiß ich jetzt wenigstens, dass es keine "einfache" Definition dafür gibt, also danke. ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 21.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
