kombinatorik < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Meine erste Aufgabe lautet:
In der eukl. Ebene seien n geraden gegeben, je 2 nicht parallel, je drei ohne gemeinsamen schnittpunkt. wieviele schnittpunkte und wieviele dreiecke werden gebildet?
Bei den schnittpunkten weiß ich, dass mit jeder gerade n, die hinzukommt, n-1 schnittpunkte hinzukommen. also bei 3 geraden sind es 3 sp, bei 4 kommen 3 sp dazu,also insgesamt 6. jetz weiß ich aber nicht, wie ich das in eine formel bekomme.
bei den dreiecken hab ich auch die zahlen, aber keine formel.
bei 3 Geraden ist es 1 Dreieck
bei 4 G 4 Dr.
bei 5 G 10 Dr.
bei 6 G 20 Dr. usw.
Die 2. Aufgabe: Ein Käfer sitzt im Ursprung eines räumlichen Gitters mit natürlichen Koordinaten n,m,k.
Wieviele verschiedene Wege gibt es für ihn vom Ursprung (0/0/0) zum Punkt (n/m/k), wenn er nur in Koordinatenrichtung gehen darf und der Weg minimal sein soll? Wieviel, wenn n=m=k=5?
Hier hab ich leider gar keine Ahnung und hoffe schnellstmöglich auf jede Hilfe!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Daniela!
> Meine erste Aufgabe lautet:
> In der eukl. Ebene seien n geraden gegeben, je 2 nicht
> parallel, je drei ohne gemeinsamen schnittpunkt. wieviele
> schnittpunkte und wieviele dreiecke werden gebildet?
>
> Bei den schnittpunkten weiß ich, dass mit jeder gerade n,
> die hinzukommt, n-1 schnittpunkte hinzukommen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also haben wir doch bei $n$ Geraden
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{n-1} [/mm] = [mm] \frac{(n-1) \cdot n}{2} [/mm] = {n [mm] \choose [/mm] 2}$
Schnittpunkte.
Man kann sich das auch anders überlegen: Je zwei der $n$ Geraden bilden einen Schnittpunkt. Auf wieviel Arten kann man aus $n$ Geraden zwei (ohne Beachtung der Reihenfolge) auswählen? Genau, auf ${n [mm] \choose [/mm] 2}$ Möglichkeiten.
> also bei 3
> geraden sind es 3 sp, bei 4 kommen 3 sp dazu,also insgesamt
> 6. jetz weiß ich aber nicht, wie ich das in eine formel
> bekomme.
> bei den dreiecken hab ich auch die zahlen, aber keine
> formel.
> bei 3 Geraden ist es 1 Dreieck
> bei 4 G 4 Dr.
> bei 5 G 10 Dr.
> bei 6 G 20 Dr. usw.
Versuche die Aufgabe mal ähnlich zu lösen. Wieviele Seiten bilden genau ein Dreieck? Auf wie viele Arten kann ich so viele Seiten aus meinen $n$ Seiten auswählen?
> Die 2. Aufgabe: Ein Käfer sitzt im Ursprung eines
> räumlichen Gitters mit natürlichen Koordinaten n,m,k.
> Wieviele verschiedene Wege gibt es für ihn vom Ursprung
> (0/0/0) zum Punkt (n/m/k), wenn er nur in
> Koordinatenrichtung gehen darf und der Weg minimal sein
> soll? Wieviel, wenn n=m=k=5?
Nun, man kann sich darunter eine Folge von lauter $1$en, $2$en und $3$ en vorstellen.
Die Folge
$11232333$
etwa bedeutet, dass der Käfer zunächst zweimal in $x$-Richtung geht, dann einmal in $y$-Richtung, dann einmal in $z$-Richtung, dann wieder einmal in $y$-Richtung und dann dreimal in $z$-Richtung.
Wir haben jetzt $n$ Einsen, $m$ Zweien und $k$ Dreien zur Verfügung, also insgesamt eine Folge mit $n+m+k$ Elementen.
Auf wieviele Arten kann man $n+m+k$ Elemente vertauschen, wenn jeweils $n$, $m$ und $k$ Elemente nicht unterscheidbar sind?
Weißt du das?
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo Stefan!
Danke für deine schnelle Antwort
Das mit den Dreiecken und Schnittpunkten hab ich jetzt verstanden. Hab etwas auf dem Schlauch gestanden.
Aber bei dem Käfer kam ich mit deinen Tips nicht ganz weiter. Ich hab aber eine andere Idee gehabt.
Da gibt es für den 2-dimensionalen eine Formel und zwar (m+n)fakultät durch m fakultät mal n fakultät, oder auch [mm] \vektor{m+n \\ m}
[/mm]
Kann man die formel nicht auch irgendwie auf den 3-dimensionalen raum übertragen?
LG
|
|
|
| |
|
Erste Teilaufgabe von b.):
Der Käfer muss von 0/0/0 nach n/m/k
dass geht auf folgende (6) Arten:
n+m+k
n+k+m
m+n+k
m+k+n
k+n+m
k+m+n
Und nun zur 2. Teilaufgabe von b.)
Bei 5n, 5m und 5k sind natürlich mehrere Wege möglich,
da der Käfer erst ein oder einige der 5 Strecken in Richtung
n, dann in Richtung m, dann wieder in Richtung n gehen kann
und dazwischen immer mal in Richtung k "aufsteigen" sollte.
Vielleicht schaffst du es jetzt 
Gruss
NACHTRAG (weil als fehlerhaft gekennzeichnet)
Ich bin davon ausgegangen, dass unter "natürlichen" Koordinaten solche von Betrag 1 gemeint sind und der Käger jeweil mindestens eine Einheit krabbeln muss. Auch habe ich nur den Fall Ziel = m,n,k bearbeitet und nicht den Fall 5m,5n,5k.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, die Verallgemeinerung geht so wie von mir schon beschrieben:
Beachte, dass
${m+n [mm] \choose [/mm] n} = [mm] \frac{(m+n)!}{m! \cdot n!}$.
[/mm]
In unserem Fall ist die Anzahl der Möglichkeiten:
[mm] $\frac{(k+m+n)!}{k! \cdot m! \cdot n!}$,
[/mm]
aus dem bereits von mir beschriebenen Grund.
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
|
