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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 So 21.10.2007 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe mit maximal 5 Elementen.
zeige: G ist kommutativ.
Gilt dasselbe auch für eine Gruppe mit 6 Elementen?
Hinweis: Gruppentafeln |
hallo zusammen,
komme hiermit nicht ganz zurecht.
auch der Hinweis Gruppentafeln zu erstellen hilft mir nicht viel weiter.
weiß nur, dass wenn die Gruppentafel symmetrisch ist, dann ist die Gruppe kommutativ.
Hab das mal mit [mm] \IZ/5\IZ [/mm] ausprobiert...naja komme aber nicht drauf wie ich das 1. geschweigedenn die 2.Frage bearbeiten soll!
hoffe auf Hilfe,
Gruß kittie
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> Sei G eine Gruppe mit maximal 5 Elementen.
> zeige: G ist kommutativ.
> Gilt dasselbe auch für eine Gruppe mit 6 Elementen?
> Hinweis: Gruppentafeln
> komme hiermit nicht ganz zurecht.
> auch der Hinweis Gruppentafeln zu erstellen hilft mir
> nicht viel weiter.
Hallo,
sicher weißt Du, daß in Gruppentafeln jedes Element in jeder Zeile und Spalte genau einmal vorkommen muß.
Nun kannst Du für die Gruppen mit 1,2 und 3 Elementen schonmal die Gruppentafeln aufstellen, Du hast wenig Auswahl.
Für die Gruppe mit 4 Elementen ist es sicher auch lehrreich, sich einmal die möglichen Gruppentafeln zurechtgefrickelt zu haben, aber es ist nicht unbedingt nötig:
Nimm an, Du hättest schon drei verschiedene Elemente 1,a,b.
Nun überlege Dir, ob ab eins der bereits vorhandenen Elemente sein kann. Das Ergebnis wird lauten: nein.
Also ist ab ein viertes, neues Element. Kann nun [mm] ba\not=ab [/mm] sein?
Wie Du das mit der Gruppe der Ordnung 5 machst, hängt davon ab, was Ihr schon gelernt habt. Satz v. Lagrange? Ordnung v. Elementen?
Mit Gruppentafeln herumzuwurschteln fände ich hier ziemlich lästig.
> geschweigedenn die 2.Frage
> bearbeiten soll!
Hier gibt es zwei recht pragmatische Lösungen.
1. Ihr habt bereits eine Gruppe mit 6 Elementen kennengelernt, welche nicht kommutativ ist. Auf diese weist Du hin.
2. Du liest ein ganz klein bißchen in einem Algebrabuch (oder googelst), findest eine nichtkommutative Gruppe der Ordnung 6 und präsentierst diese.
Gruß v. Angela
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