kommutativer Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 So 11.11.2007 | | Autor: | froggie |
| Aufgabe | | In einem ring A gilt für jedes Element x [mm] \in [/mm] A [mm] x^{2}=x. [/mm] Zeigen Sie dass dieser Ring kommutativ ist. (Die Charak der ringes beträg 2) |
so, ich denke mal, dass ich hier die Axiome für einen kommutativen Ring zeigen muss.
also, wenn a*b=b*a für alle a, b.... Das kommt mir so wenig vor, immerhin gibt es 6 punkte auf diese Aufgabe.... oder erfordert die aufgabe noch etwas weiteres?
Die Charakteristik ist ja 2. Folgt daraus, dass der Ring nur 2 Elemente hat, bzw hat das was mit mod2 zu tun? Die Gleichung [mm] x^{2}=x [/mm] würden ja auch nur zwei zahlen erfüllen.
wäre für jede hilfe sehr dankbar ;)
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> In einem ring A gilt für jedes Element x [mm]\in[/mm] A [mm]x^{2}=x.[/mm]
> Zeigen Sie dass dieser Ring kommutativ ist. (Die Charak der
> ringes beträg 2)
> so, ich denke mal, dass ich hier die Axiome für einen
> kommutativen Ring zeigen muss.
> also, wenn a*b=b*a für alle a, b.... Das kommt mir so
> wenig vor, immerhin gibt es 6 punkte auf diese Aufgabe....
> oder erfordert die aufgabe noch etwas weiteres?
>
> Die Charakteristik ist ja 2. Folgt daraus, dass der Ring
> nur 2 Elemente hat, bzw hat das was mit mod2 zu tun? Die
> Gleichung [mm]x^{2}=x[/mm] würden ja auch nur zwei zahlen erfüllen.
Hallo,
Du hast die Aufgabe noch nicht richtig verstanden.
Gegeben hast Du einen Ring A mit der Eigenschaft, daß für jedes [mm] x\in [/mm] A [mm] x^2=x [/mm] gilt.
Ob das Ding also ein Ring ist, steht überhaupt nicht zur Debatte. Das ist Voraussetzung.
Du brauchst also keine Ringaxiome zu zeigen.
Zur Debatte steht die Kommutativität.
Du sollst also zeigen, daß für alle [mm] a,b\in [/mm] A gilt: ab=ba.
Bevor Du herumrätst, wie die Charakteristik definiert ist, solltest Du mal einen Blick in Deine Unterlagen werfen.
Die Klärung der Begriffe muß immer an erster Stelle stehen. Mit der Lösung einer Aufgabe zu beginnen, bevor die Begriffe klar sind (oder zumindest vorliegen), ist vertane Zeit - und man hat nicht viel Zeit am Studienanfang, stimmt's?
> Die Gleichung [mm]x^{2}=x[/mm] würden ja auch nur zwei zahlen erfüllen.
Daraus kannst Du schließen, daß nicht [mm] \IZ [/mm] der Ring ist, der hier betrachtet wird.
Es ist doch nirgends die Rede davon, daß in A Zahlen enthalten sind, von daher ist das Nachdenken über Zahlen hier nicht zielführend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 So 11.11.2007 | | Autor: | froggie |
"Die Charakteristik des (unitären) Rings R ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl n, für die R einen unitären Teilring enthält, der (isomorph) zum Restklassenring [mm] \IZ/n \IZ [/mm] ist. "
Definition aus Wikipedia :)
HAb ich es also richtig verstanden, wenn n=2 ist, ist von [mm] \IZ/2 \IZ [/mm] die Rede?
(Den begriff isomorph hab ich nicht so richtig verstanden, hat irgendetwas mit bijektiv zutun, ist der begriff hier sehr wichtig?)
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> "Die Charakteristik des (unitären) Rings R ist die
> eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl n, für die R
> einen unitären Teilring enthält, der (isomorph) zum
> Restklassenring [mm]\IZ/n \IZ[/mm] ist. "
>
> Definition aus Wikipedia :)
>
> HAb ich es also richtig verstanden, wenn n=2 ist, ist von
> [mm]\IZ/2 \IZ[/mm] die Rede?
> (Den begriff isomorph hab ich nicht so richtig verstanden,
> hat irgendetwas mit bijektiv zutun, ist der begriff hier
> sehr wichtig?)
Hallo,
die wikipedia in Ehren, ich gucke da auch viel nach, aber Du brauchst die Definition der Charakteristik aus Deiner Vorlesung, das da oben nützt Dir doch nichts, oder?
Die Def. der Vorlesung ist sicher ohne isomorphen Teilring, womit eine Hürde schonmal wegfällt...
Dann birgt das Obige noch ein Problem: es ist dort v. einem unitären Ring die Rede, wovon ich in Deiner Aufgabe aber keine Spur entdecken kann. (Oder sind Eure Ringe generell mit 1?)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 So 11.11.2007 | | Autor: | goa |
Warum ist die charakteristik denn 2? in der vorlesung haben wir die charakteristik definiert als Zahl m (natürliche Zahl) mit m*1=0.wobei char(K)=p, p primzahl.
in der übung wurde uns gesagt, dass wir zeigen müssen, dass x*y=y*x. das ist klar, das ist die kommutativität. dazu hat er noch geschrieben: [mm] (x-y)^2=(x+y). [/mm] kann mir jemand sagen, wie ich jetzt dazu komme, dass der Ring kommutativ ist?
Ich habe mal mit x*y=y*x gerechnet, und substituiert. x=(a+b), y=s-t).
das ausmultipliziert ergibt am Ende 0=0. das kanns doch aber nicht gewesen sein, oder?
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> Warum ist die charakteristik denn 2? in der vorlesung haben
> wir die charakteristik definiert als Zahl m (natürliche
> Zahl) mit m*1=0.wobei char(K)=p, p primzahl.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Diese Definition hat sich sicher auf die Charakteristik eines Körpers bezogen, in Ringen hat man ja nicht unbedingt eine 1. (Es sei denn, Ringe sind in Eurer Vorlesung immer mit 1). Auch die Primzahlcharakteristik braucht man für einen Ring nicht.
> in der übung wurde uns gesagt, dass wir zeigen müssen, dass
> x*y=y*x. das ist klar, das ist die kommutativität. dazu hat
> er noch geschrieben: [mm](x-y)^2=(x+y).[/mm] kann mir jemand sagen,
> wie ich jetzt dazu komme, dass der Ring kommutativ ist?
Naja, das sollst Du ja selber herausfinden.
Was hast Du denn mit dem Tip aus der Übung bisher getan?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 So 11.11.2007 | | Autor: | goa |
ich habe umgeformt und dann [mm] x^2=x [/mm] eingesetzt:
also: [mm] (x-y)^2=x+y
[/mm]
[mm] x^2+y^2-2*x*y=x+y, [/mm] da [mm] x^2=x [/mm] unx [mm] y^2=y, [/mm] steht dann da:
x+y-2xy=x+y. wenn ich jetzt -x-y rechne, steht da: 0=-2xy. das hat mir niht weitergeholfen...
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> ich habe umgeformt und dann [mm]x^2=x[/mm] eingesetzt:
>
> also: [mm](x-y)^2=x+y[/mm]
> [mm][mm] x^2+y^2-2*x*y=x+y,
[/mm]
Hallo,
Du bist beim Multiplizieren etwas zu forsch ans Werk gegangen.
Schreib Dir mal die beiden Klammern hin und multipliziere dann "jeden mit jedem".
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 So 11.11.2007 | | Autor: | goa |
ich denke, das problem sind die -2xy. ich dachte ich könnte
[mm] (x-y)^2=x^2-xy-yx+y^2 [/mm] = x+y -2xy. da ja ein ring vorliegt...aber wenn das nicht geht, muss ich anders umformen:
[mm] (x-y)^2=x+y-xy-yx=x+y
[/mm]
0=-xy-yx
xy=-yx. und wie bekomme ich jetzt das "-" weg. das stört ja noch...und wie komme ich überhaupt darauf, dass es reicht zu zeigen, dass [mm] (x-y)^2=x+y [/mm] für die kommutativität in dem ring?wir haben das sang und klanglos an die tafel geschrieben bekommen...
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> ich denke, das problem sind die -2xy. ich dachte ich
> könnte
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> [mm](x-y)^2=x^2-xy-yx+y^2[/mm] = x+y -2xy. da ja ein ring
> vorliegt...
Hallo,
überleg' Dir, welchen Hinweis es darauf gibt, daß Du das im Ring so machen darfst...
Ich sage es Dir: keinen.
Schau mal in den Ringaxiomen nach, dort steht kein Wörtchen von kommutativ.
Die Kommutativität, die Du dort oben voll Vertrauen verwendest hast, soll doch erst gezeigt werden.
> aber wenn das nicht geht, muss ich anders
> umformen:
>
> [mm](x-y)^2=x+y-xy-yx=x+y[/mm]
> 0=-xy-yx
Ja, so ist es richtig.
> xy=-yx.
Das ist immerhin schon nah dran.
und wie bekomme ich jetzt das "-" weg. das stört
> ja noch...
Ja.
> und wie komme ich überhaupt darauf, dass es
> reicht zu zeigen, dass [mm](x-y)^2=x+y[/mm] für die kommutativität
> in dem ring?wir haben das sang und klanglos an die tafel
> geschrieben bekommen...
Ich habe jetzt mal meine Brille auf die Nase gesetzt. Ergebnis: der Tip soll doch bestimmt [mm] (x+y)^2=x+y [/mm] heißen.
(Das macht für Deine bisherige Rechnung nicht viel Unterschied.)
Wie kommt man darauf? Eine Mischung aus Esprit und Erfahrung.
Aber warum gilt das: weil nach Voraussetzung das Quadrat eine jeden Ringeelementes sich selbst ergibt. Für x,y [mm] \in [/mm] R ist auch [mm] x+y\in [/mm] R , also gilt die Voraussetzung auch für dieses Element.
Für die Sache mit dem Minus probier noch mal ein bißchen...
Was ist eigentlich, wenn man zwei gleiche Elemente addiert?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 11.11.2007 | | Autor: | goa |
DANKE erstmal...die mischung aus esprit und erfahrung frustet etwas, aber ich übe ja noch...--> 1 semester halt 
ich glaube, dass es egal ist, ob es [mm] (x-y)^2=x+y [/mm] pder [mm] (x+y)^2=x+y. [/mm] letzteres macht zwar viel mehr sinn, aber -xy=yx kann ich doch folgendermaßen umformen:
-xy=yx | [mm] ()^2
[/mm]
[mm] x^2y^2=y^2x^2, [/mm] und das ist, da [mm] x^2=x,
[/mm]
xy=yx, womit die kommutativität gezeigt wäre. da es aber [mm] x+y)^2 [/mm] heißt, ist das minus-problem ja gelöst....
"Was ist eigentlich, wenn man zwei gleiche Elemente addiert? "
Ist das ein hinweis auf die charakteristik?
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> ich glaube, dass es egal ist, ob es [mm](x-y)^2=x+y[/mm] pder
> [mm](x+y)^2=x+y.[/mm] letzteres macht zwar viel mehr sinn,
Eben. [mm] (x-y)^2=x+y [/mm] ist ja so ganz ohne weiteres nicht einzusehen, es wird ein Resultat sein.
> aber
> -xy=yx kann ich doch folgendermaßen umformen:
>
> -xy=yx | [mm]()^2[/mm]
EDIT: wenn Du hier quadrierst, erhältst nach Voraussetzung wieder die Elemente selber.
Du kannst natürlich trotzdem quadrieren und erhältst [mm] (-xy)^2=(yx)^2 [/mm] <==> xyxy=yxyx
Ist Dir aber klar, daß im allgemeinen [mm] (xy)^2\not=x^2y^2 [/mm] ? Hierfür benutzt Du dann ja die noch zu zeigende Kommutativität, und das darfst Du nicht.
> [mm]x^2y^2=y^2x^2,[/mm]
> und das ist, da [mm]x^2=x,[/mm]
> xy=yx,
> womit die kommutativität gezeigt wäre. da es aber
> [mm]x+y)^2[/mm] heißt, ist das minus-problem ja gelöst....
Nein, nein, das hätte man bei [mm] (x+y)^2=x+y [/mm] genauso, probier's aus.
> "Was ist eigentlich, wenn man zwei gleiche Elemente
> addiert? "
> Ist das ein hinweis auf die charakteristik?
Ja. Addieren und quadrieren.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:51 So 11.11.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
> > -xy=yx | [mm]()^2[/mm]
>
> Wenn Du das quadrierst, hast Du die Information e=e.
Das ist völlig verkehrt!
Erstens ist das Quadrat nicht e, sondern das Element, welches quadriert wird selbst, und zweitens ist's gar nicht gesagt, daß es in dem Ring eine Eins gibt!
Ich werde meine Antwort gleich bearbeiten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 So 11.11.2007 | | Autor: | froggie |
muss man für diese aufgabe nicht zeigen, dass x, y [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] A, da ja in der aufgabe vorrausgeseetzt ist, dass A ein Ring ist, gell?
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> muss man für diese aufgabe nicht zeigen, dass x, y [mm]\in[/mm] A
> [mm]\Rightarrow[/mm] x+y [mm]\in[/mm] A, da ja in der aufgabe vorrausgeseetzt
> ist, dass A ein Ring ist, gell?
Hallo, ich weiß jetzt nicht, ob ich mit ja oder nein antworten soll.
Ich glaube, ich verstehe die Frage nicht.
Wenn x,y [mm] \in [/mm] A, dann ist auch [mm] x+y\in [/mm] A, weil A ein Ring ist.
Zu zeigen gibt's da nichts. Das folgt direkt aus der Ringeigenschaft.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 So 11.11.2007 | | Autor: | froggie |
okay danke, genau das wollte ich wissen....
mir kommt die aufgabe nur etwas kurz vor. Wenn man nur das mit dem [mm] (x+y)^2=x+y [/mm] zeigen soll .... ;)
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> okay danke, genau das wollte ich wissen....
> mir kommt die aufgabe nur etwas kurz vor. Wenn man nur das
> mit dem [mm](x+y)^2=x+y[/mm] zeigen soll .... ;)
???
Das ist doch lediglich eine Folgerung aus der Voraussetzung.
Zeigen soll man die Kommutativität und daß die Charakteristik =2 ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 So 11.11.2007 | | Autor: | goa |
der beweis für die kommutativität ist doch die umformung von [mm] (x+y)^2=x+y, [/mm] oder? und wie packe ich das mit der charakteristik an? ein kleiner tipp?
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> der beweis für die kommutativität ist doch die umformung
> von [mm](x+y)^2=x+y,[/mm] oder?
EDIT:
bisher hat man hiermit ja nur -xy=yx erreicht.
Den Rest bekommt man mit der Charakteristik.
>und wie packe ich das mit der
> charakteristik an? ein kleiner tipp?
Den hatte ich doch schon gegeben: [mm] (x+y)^2=x+y [/mm] gilt ja für alle [mm] x,y\in [/mm] A, also auch, wenn die beiden gleich sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 So 11.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Muss man zwingend zeigen, dass die Charakteristik 2 ist? Das ist doch nicht gefordert, sondern es ist lediglich der Hinweis gegeben, dass man versuchen soll diese herauszubekommen.
Ich habe mit dem Ansatz auf folgendes gefolgert (bin mir dabei aber sehr unsicher):
(x+y)² = x+y
(x+y) (x+y) = (x+y)
nun habe ich durch (x+y) geteilt und erhalte
(x+y) = 1
damit erhalte ich
x = 1-y und
y = 1 -x
Wenn ich das in xy = yx einsetze, erhalte ich eine wahre Aussage. Ich hab aber die starke Vermutung, dass ich das so nicht machen darf...
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> Muss man zwingend zeigen, dass die Charakteristik 2 ist?
> Das ist doch nicht gefordert, sondern es ist lediglich der
> Hinweis gegeben, dass man versuchen soll diese
> herauszubekommen.
Oh, ich weiß nicht, wie es gemeint war.
Ich hatte es so verstanden, daß man das zeigen soll.
Sicher hast Du verfolgt, daß die Kommutativität noch nicht abschließend geklärt ist, ich hatte da einen dummen Fehler gemacht.
Der jetzige Stand ist -xy=yx.
Wenn man das mit der Charakteristik hat, bekommt man den Rest.
> Ich habe mit dem Ansatz auf folgendes gefolgert (bin mir
> dabei aber sehr unsicher):
>
> (x+y)² = x+y
> (x+y) (x+y) = (x+y)
>
> nun habe ich durch (x+y) geteilt und erhalte
> (x+y) = 1
Mehrere Katastrophen: wir sind in einem Ring. Da kannst Du nicht davon ausgehen, daß Du teilen kannst. Das Inverse bzgl. * ist nicht Bestandteil der Ringaxiome.
Es ist auch nirgends die Rede davon, daß der Ring eine Eins enthält! (Es sei denn, Eure Ringe sind so definiert, das ist von Ort zu Ort mitunter etwas verschieden)
> (x+y)² = x+y
Rechne das mal aus für x=y. Oder noch besser: Sei a eine beliebiges Element aus A. Was erhält man aus [mm] (a+a)^2=a+a?
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 So 11.11.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
> Rechne das mal aus für x=y. Oder noch besser: Sei a eine
> beliebiges Element aus A. Was erhält man aus [mm](a+a)^2=a+a?[/mm]
also ich hab das jetzt so umgeformt:
a²+2a*a+a²=a +a
a+ 2a*a + a=a+a
a*a+a*a=0
a*a=-a*a
das wäre ja dann wie bei xy=-xy. ist das so richtig?
gruß rezzana
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> hallo!
> > Rechne das mal aus für x=y. Oder noch besser: Sei a eine
> > beliebiges Element aus A. Was erhält man aus [mm](a+a)^2=a+a?[/mm]
> also ich hab das jetzt so umgeformt:
> a²+2a*a+a²=a +a
> a+ 2a*a + a=a+a
> a*a+a*a=0
<==> a+a=0
Kurz innehalten: für alle Elemente a des Ringes gilt: 2a=0.
Also ist die Charakteristik =2.
(Wir waren etwas schlampig. Wir hätten am Anfang sämtlicher Bemühungen voraussetzen müssen, daß der Ring mindestens zwei Elemente enthält, also ein von Null verschiedenes.)
> das wäre ja dann wie bei xy=-xy. ist das so richtig
Moment: wir hatten da -xy=yx, und das brauchst Du gleich...
Paß auf:
==> Für alle Ringelemente ist a=-a.
Und nun hast Du die Kommutativität - Du mußt sie nur noch erkennen!
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:27 So 11.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Achso! Dass die Charakteristik 2 ist, erhalte ich also aus dem Ansatz
(a+a)² = a + a ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 So 11.11.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
> Paß auf:
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> ==> Für alle Ringelemente ist a=-a.
>
> Und nun hast Du die Kommutativität - Du mußt sie nur noch
> erkennen!
kann man dann sagen,dass xy einem element des ringes entspricht,also z.b. xy=b und deswegen -yx=-b ist?
gruß rezzana
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> hallo!
> > Paß auf:
> >
> > ==> Für alle Ringelemente ist a=-a.
> >
> > Und nun hast Du die Kommutativität - Du mußt sie nur noch
> > erkennen!
> kann man dann sagen,dass xy einem element des ringes
> entspricht,also z.b. xy=b und deswegen -yx=-b ist?
> gruß rezzana
Hallo,
so ungefähr.
Wir hatten, wenn ich mich recht entsinne, als letztes dastehen xy=-yx.
Und nun muß man glaubhaft machen, daß -yx dasselbe ist wie yx.
Warum ist das so? Wie Du selbst sagst: weil yx ein Ringelement ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 So 11.11.2007 | | Autor: | rezzana |
> das wäre ja dann wie bei xy=-xy. ist das so richtig?
ich meinte natürlich: xy=-yx
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:24 So 11.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Ich hatte mir schon gedacht, dass das so nicht geht, konnte mir aber nicht genau erklären warum. Danke!
Nochmal wegen der Charakteristik. Wir müssen zeigen, dass die Charakteristik 2 ist, wenn wir diese Eigenschaft im Beweis verwenden wollen. Ich hatte in meinem (falschen) Beweis die Charakteristik nicht verwendet und hätte sie (wenn er richtig gewesen wäre) nicht zeigen müssen.
Ich habe jetzt versucht deinen Tipp umzusetzen. Wenn x = y ist, gilt für
(x+y)² = x+y
(x+x)² = x+x
(x+x)(x+x) = x+x
Wenn ich an dieser Stelle schon gezeigt habe, dass die Charakteristik 2 ist, kann ich folgern
0*0 = 0
Stimmt das? Problem ist ja aber, dass ich auf die Charakteristik erst mal kommen muss...
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Du kannst das inzwischen da nachlesen.
Gruß v. Angela
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