kommutativer Ring < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Do 28.11.2013 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei R ein Ring. Zeigen Sie, dass das Zentrum
Z(R):={a Element von R|ab=ba für alle b Element von R}
ein kommutativer Ring ist. |
Hallo, ich habe folgende Aufgabe und weiß nicht so genau wie ich diese lösen muss. Ich hoffe ihr könnt mir ein paar Ansätze liefern.
Hier muss ich ja die Eigenschaften des kommutativen Ringes "nachrechnen".
In jedem Ring ist die Addition ja kommutativ. Außerdem sollte sich doch die Eigenschaft der Distributivität "vererben".
Liege ich soweit richtig? Wie kann man hier am besten ansetzen?
Über Hilfe freue ich mich.
mfg
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Hallo,
Zeige, dass das Zentrum ein Teilring ist. Damit sparst du dir eine Reihe von Rechnungen, z.B. Assoziativität oder wie du richtig bemerkt hast Distributivität. Dann ist das Zentrum automatisch selbst ein Ring und ist kommutativ nach der Definition.
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Do 28.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Danke für deine Antwort.
Den Begriff des Teilrings haben wir leider noch nicht eingeführt.
Gibt es dafür auch andere Namen, bzw. kann ich dennoch die "Vererbung" der assoziativität und distributivität verwenden?
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Ja, das kannst du dann trotzdem verwenden.
Das wichtige ist bei dieser Aufgabe, dass 0, 1 im Zentrum liegen und für alle Elemente auch deren additiv Inverses, sowie Summe und Produkt von Elementen aus dem Zentrum wieder im Zentrum liegen.
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Do 28.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Hmm, irgendwie schaffe ich es nicht dies zu zeigen....
Könntest du eine Beispielrechnung vorführen?
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Hallo YuSul,
> Hmm, irgendwie schaffe ich es nicht dies zu zeigen....
Wieso nicht? Der Fahrplan ist doch klar, die Definition des Zentrums hast du auch ...
>
> Könntest du eine Beispielrechnung vorführen?
Ich zeige beispielhaft:
1) [mm]0\in Z(R)[/mm]
2) [mm]x,y\in Z(R)\Rightarrow x+y\in Z(R)[/mm]
1) Sei [mm]r\in R[/mm] beliebig, dann ist [mm]0r=0=r0[/mm], also [mm]0\in Z(R)[/mm]
2) [mm]x,y\in Z(R)[/mm]
Dann gilt für jedes [mm]r\in R[/mm]: [mm]xr=rx[/mm] und [mm]yr=ry[/mm]
Damit: [mm](x+y)r=xr+yr[/mm] (wieso?)
[mm]=rx+ry=r(x+y)[/mm], also [mm]x+y\in Z(G)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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