kommutativer Ring mit Eins < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Fr 12.09.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega [/mm] eine nicht leere Menge und [mm] $R:=\mathbb{F}_2^{\Omega}$ [/mm] die Menge aller Abbildungen [mm] $f:\Omega\to\mathbb{F}_2$
[/mm]
Zeige:
R ist mit den Verknüpfungen
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
$(fg)(x)=f(x)g(x)$
ein kommutativer Ring mit Einselement. |
Hi,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Nämlich ist hier doch eigentlich gar nichts zu tun. Die Gesetze folgen doch direkt daraus, dass [mm] $\mathbb{F}_2$ [/mm] ein Körper ist.
Wobei ich als neutrale Elemente einfach die Nullabbildung und die Abbildung welche Konstant 1 ist nehmen kann.
Ist das so richtig, oder müsste ich dennoch etwas nachrechnen?
Vielen Dank im voraus.
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Hallo Yusul,
Stimmt. Tatsächlich genügt es, statt [mm] $\IF_2$ [/mm] einen beliebigen Ring $ S $ zu betrachten.
Außerdem gilt: Ist [mm] $(S_i [/mm] ) $ eine Familie von Ringen, so wird aus der Menge [mm] $\prod S_i [/mm] $ durch komponentenweise Verknüpfungen ebenfalls ein Ring. Tatsächlich ist dieser neue Ring das Produkt der Familie in der Kategorie der Ringe (und falls alle $ [mm] S_i [/mm] $ kommutativ sind, in der Kategorie der kommutativen Ringe).
Den Spezialfall hier erhälst du, indem du die Familie [mm] $(S_i),\ i\in\Omega [/mm] $ betrachtest mit $ [mm] S_i=\IF_2$ [/mm] für alle $ [mm] i\in\Omega [/mm] $.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Fr 12.09.2014 | | Autor: | YuSul |
Noch einmal bitte ohne Kategorien... :)
Die Aufgabe ist also so trivial wie ich denke, ja?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:55 Sa 13.09.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, ist sie. Jetzt geht es nur darum, es vernünftig aufzuschreiben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Sa 13.09.2014 | | Autor: | YuSul |
Aufschreiben würde ich es so:
Es ist zu zeigen, dass $(R,+)$ eine abelsche Gruppe ist und $(R, [mm] \cdot)$ [/mm] eine kommutative Halbgruppe.
Wählt man
[mm] $e_+:\Omega\to \mathbb{F}_2$
[/mm]
[mm] $x\mapsto [/mm] 0$
Als neutrales Element der Addition und
[mm] $e_{\cdot}:\Omega\to \mathbb{F}_2$
[/mm]
[mm] $x\mapsto [/mm] 1$
als neutrales Element der Multiplikation auf R, so sind alle gewünschten Eigenschaften trivialerweise erfüllt, da [mm] $\mathbb{F}_2$ [/mm] ein Körper ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Sa 13.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Yusul,
> Aufschreiben würde ich es so:
>
> Es ist zu zeigen, dass [mm](R,+)[/mm] eine abelsche Gruppe ist und
> [mm](R, \cdot)[/mm] eine kommutative Halbgruppe.
>
> Wählt man
>
> [mm]e_+:\Omega\to \mathbb{F}_2[/mm]
>
> [mm]x\mapsto 0[/mm]
>
> Als neutrales Element der Addition
das ist nicht zu wählen, sondern Du definierst diese (Null-)Abbildung und
rechnest (kurz) nach, dass das Definierte tatsächlich das macht, was es
soll. (Das siehst Du unten noch ein wenig ausführlicher!)
> und
>
> [mm]e_{\cdot}:\Omega\to \mathbb{F}_2[/mm]
>
> [mm]x\mapsto 1[/mm]
>
> als neutrales Element der Multiplikation auf R,
Analog zu oben.
> so sind alle gewünschten Eigenschaften trivialerweise erfüllt, da
> [mm]\mathbb{F}_2[/mm] ein Körper ist.
Begründe doch alle gewünschten Eigenschaften im Einzelnen, auch, wenn
es vielleicht ein wenig nervig ist, triviales aufzuschreiben.
So als "Grobskizze" zeige ich Dir einfach mal, wie man die Assoziativität
zeigen kann:
Nebenbei schreibe ich mal $f [mm] \oplus [/mm] g$ für die Addition auf [mm] $R\,,$ [/mm] damit Du siehst,
dass es hier unterschiedliche Additionen gibt [mm] ($+\,$ [/mm] ist die auf [mm] $\IF_2\,.$)
[/mm]
Seien $f,g,h [mm] \in R\,.$ [/mm] Dann sind $(f [mm] \oplus g)\oplus [/mm] h$ und $f [mm] \oplus [/mm] (g [mm] \oplus [/mm] h)$ beides Abb. [mm] $\Omega \to \IF_2$ [/mm] und zudem
gilt für alle(!!!) [mm] $x\,$ ($\in \Omega$)
[/mm]
[mm] $((f\oplus g)\oplus [/mm] h)(x)=(f [mm] \oplus g)(x)+h(x)=(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))=f(x)+((g\oplus [/mm] h)(x))=(f [mm] \oplus [/mm] (g [mm] \oplus [/mm] h))(x)$
(Nach dem ersten und zweiten Gleichheitszeichen steht das, was per Definitionem
von [mm] $\oplus$ [/mm] folgt ($(f [mm] \oplus [/mm] g)(x)=f(x)+g(x)$)) und erst nach dem dritten Gleichheitszeichen
steht etwas *triviales*, weil die Assoziativität in [mm] $\IF_2$ [/mm] bekannt ist und benutzt
werden darf. Das darauf folgende ergibt sich wieder per Definitionem von [mm] $\oplus$!)
[/mm]
Dies zeigt $(f [mm] \oplus [/mm] g) [mm] \oplus [/mm] h=f [mm] \oplus [/mm] (g [mm] \oplus h)\,.$
[/mm]
Und zum Beispiel würdest Du oben mit $e_+$ folgendes nachrechnen:
Per Definitionem ist $e_+ [mm] \colon \Omega \to \IF_2\,,$ [/mm] und ist $f [mm] \colon \Omega \to \IF_2$ [/mm] (beliebig), so folgt, unter Beachtung von $e_+ [mm] \oplus [/mm] f [mm] \colon \Omega \to \IF_2$
[/mm]
und $f [mm] \oplus [/mm] e_+ [mm] \colon \Omega \to \IF_2\,,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \Omega$ [/mm]
$(e_+ [mm] \oplus [/mm] f)(x)=e_+(x)+f(x)=0+f(x)=f(x)$
sowie
$(f [mm] \oplus e_+)(x)=f(x)+e_+(x)=f(x)+0=f(x)\,.$
[/mm]
Also
$e_+ [mm] \oplus [/mm] f=f$ und $f [mm] \oplus e_+=f\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Sa 13.09.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, das hätte ich besser formulieren können.
Nachrechnen hätte ich tatsächlich auch alleine geschafft, es ist halt einfach hinschreiben und die jeweiligen Regeln für Körper ausnutzen.
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:19 So 14.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Yusul,
> Ok, das hätte ich besser formulieren können.
>
> Nachrechnen hätte ich tatsächlich auch alleine geschafft,
> es ist halt einfach hinschreiben und die jeweiligen Regeln
> für Körper ausnutzen.
genauso ist es. Es ist zwar ein wenig lästig, aber man soll sich ja ein wenig
darin üben. Und das hat durchaus auch einen Sinn für später. 
> Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Gerne.
Gruß,
Marcel
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