komp. u. matrixdarstellung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hi, ich habe folgende aufgabe, will aber nur eine kleine anleitung, nicht gleich die lösung:
berechne die matrixdarstellung(bzgl. der kanonischen basis) der komposition G [mm] \circ [/mm] F der lin. Abb.
F: [mm] \IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR^{3}, [/mm] F(x,y) = (2x+y, x, x-3y)
G: [mm] \IR^{3} [/mm] -> [mm] \IR^{2}, [/mm] G(x,y,z) = ( 2x+y-6z, x+z)
auf 2 arten einmal erst Komposition dann matrixdarstellung und das andere mal erst Matrixdarstellung und dann komposition.
wie bekomme ich eine komposition g [mm] \circ [/mm] f hin? ich weiß dass ich f in g einsetzen muß, habe aber keine ahnung wie und wie bekomme ich dann die matrixdarstellung hin? und die komposition aus zwei matrizen?
und wie bekomme ich auf (fp)(t)=p(t+1) <--- die shift abbildung
bzgl der basis [mm] (1,t,...,t^{5}) [/mm] eine matrixdarstellung?
wäre cool wenn ihr mir helfen könnten und....
es eilt leider leider...sorry, dass ich nicht schon früher damit gekommen bin.
danke im voraus
greetz
dschingis
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Hallo!
> berechne die matrixdarstellung(bzgl. der kanonischen basis)
> der komposition G [mm]\circ[/mm] F der lin. Abb.
>
> F: [mm]\IR^{2}[/mm] -> [mm]\IR^{3},[/mm] F(x,y) = (2x+y, x, x-3y)
> G: [mm]\IR^{3}[/mm] -> [mm]\IR^{2},[/mm] G(x,y,z) = ( 2x+y-6z, x+z)
>
> auf 2 arten einmal erst Komposition dann matrixdarstellung
> und das andere mal erst Matrixdarstellung und dann
> komposition.
>
> wie bekomme ich eine komposition g [mm]\circ[/mm] f hin? ich weiß
> dass ich f in g einsetzen muß, habe aber keine ahnung wie
> und wie bekomme ich dann die matrixdarstellung hin? und die
> komposition aus zwei matrizen?
Also [mm] G\circ [/mm] F berechnest du folgendermaßen:
Wie du gesagt hast, setzt du F in G ein, und zwar würde das Ganze ja etwas ausführlicher heißen:
[mm] G\circ [/mm] F(x,y)
nun ist F(x,y) genau das, was oben steht, also setzen wir das einfach mal ein und wir erhalten:
G(2x+y, x, x-3y)
Das, was da jetzt in den Klammern steht, ist das Argument, worauf G angewendet wird. Vielleicht nennen wir die Funktion G mal etwas um, und zwar schreiben wir mal:
G(a,b,c)=(2a+b-6c, a+c)
Und nun gilt:
a=2x+y
b=x
c=x-3y
Und das kannst du nun berechnen. 
Das mit der Matrixdarstellung weiß ich im Moment auch nicht so ganz genau, vielleicht findest du ja irgendwo ein Beispiel, wo es dann genau steht.
Aber ich glaube, du musst nun (im Falle: zuerst Komposition, dann Matrixdarstellung) deine erhaltene Abbildung auf die Basisvektoren anwenden, also für den ersten kanonischen Basisvektor berechnest du [mm] G\circ [/mm] F( [mm] \vektor{1 \\ 0}) [/mm] und für den zweiten [mm] G\circ [/mm] F( [mm] \vektor{0 \\ 1}). [/mm] Und die Ergebnisse davon müssten schon die Matrix ergeben, ich weiß nur im Moment nicht, ob [mm] G\circ [/mm] F( [mm] \vektor{1 \\ 0}) [/mm] dann jeweils der Zeilen- oder der Spaltenvektor ist... ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Wenn du zuerst die Matrizen berechnest und dann die Komposition machst, dann geht das quasi genauso. Du setzt die jeweiligen Basisvektoren in die Abbildungen ein (beachte, dass du für G eine dreidimensionale Basis hast und für F nur eine zweidimensionale). Für die Komposition musst du die beiden Matrizen dann einfach nur noch multiplizieren.
> und wie bekomme ich auf (fp)(t)=p(t+1) <--- die shift
> abbildung
> bzgl der basis [mm](1,t,...,t^{5})[/mm] eine matrixdarstellung?
Ich weiß leider nicht so ganz, was du mit dieser Abbildung meinst. Aber im Prinzip müsstest du wieder die Abbildung auf die Basisvektoren anwenden - und schon bist du fertig.
> wäre cool wenn ihr mir helfen könnten und....
> es eilt leider leider...sorry, dass ich nicht schon früher
> damit gekommen bin.
Sorry, wenn ich dir nicht ganz helfen konnte - aber vielleicht probierst du es so mal und schickst evtl. deine Ergebnisse - vielleicht weiß ich dann, ob es wirklich so richtig war, bzw. wie die Vektoren dann in der Matrix stehen müssen...
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Do 19.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Dschingis!
> F: [mm]\IR^{2}[/mm] -> [mm]\IR^{3},[/mm] F(x,y) = (2x+y, x, x-3y)
> G: [mm]\IR^{3}[/mm] -> [mm]\IR^{2},[/mm] G(x,y,z) = ( 2x+y-6z, x+z)
>
> auf 2 arten einmal erst Komposition dann matrixdarstellung
> und das andere mal erst Matrixdarstellung und dann
> komposition.
>
> wie bekomme ich eine komposition g [mm]\circ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f hin? ich weiß
> dass ich f in g einsetzen muß, habe aber keine ahnung wie
> und wie bekomme ich dann die matrixdarstellung hin? und die
> komposition aus zwei matrizen?
Also, wie schon gesagt:
Willst du die Matrixdarstellung von $F$ bestimmen, so gehst du wie folgt vor:
Berechne:
$F((1,0)^T) = (2,1,1)^T$,
$F((0,1)^T) = (1,0,-3)^T$.
Diese beiden Vektoren sind die Spalten deiner Matrix
$M_{{\cal E}_2}^{{\cal E}_3}(F) = \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & -3}$.
Analog gehst du bei $G$ vor:
$G((1,0,0)^T) = (2,1)^T$
$G((0,1,0)^T) = (1,0)^T$
$G((0,0,1)^T) = (-6,1)^T$,
also:
$M_{{\cal E}_3}^{{\cal E}_2}(G) = \pmat{ 2 & 1 & -6 \\ 1 & 0 & 1}$.
Und dann machst du es für $G \circ F$ (dafür bekommst du eine $(2 \times 2)$-Matrix
$M_{{\cal E}_2}^{{\cal E}_2}}(G \circ F)$.
Du stellst dann fest, dass
$M_{{\cal E}_2}^{{\cal E}_2}(G \circ F) = M_{{\cal E}_3}^{{\cal E}_2}(G) \cdot M_{{\cal E}_2}^{{\cal E}_3}(F)$
gilt.
> und wie bekomme ich auf (fp)(t)=p(t+1) <--- die shift
> abbildung
> bzgl der basis [mm](1,t,...,t^{5})[/mm] eine matrixdarstellung?
Für [mm] $p^i(t)=t^i$ [/mm] gilt:
[mm] $(fp^i)(t) [/mm] = [mm] p^i(t+1) =(t+1)^i [/mm] = [mm] \ldots$,
[/mm]
und hier erhältst du nach dem Binomischen Lehrsatz eine Linearkombination der Polynome [mm] $p^0(t)=1$, $p^1(t)=t$, $\ldots$, $p^{i-1}(t)=t^{i-1}$.
[/mm]
Die Koeffizienten kommen in die $i$-te Spalte der Abbildungsmatrix.
Viele Grüße
Julius
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