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| Aufgabe | Fur 1<i<n seien Ai in R kompakte Mengen. Zeigen Sie, dass die Menge
A := A1xA2xA3x ...x An
dann ebenfalls kompakt ist. Wurde die Umkehrung ebenfalls gelten? (Beweis oder
Gegenbeispiel)
Hallo ihr,
Erstma ne doofe Frage,,,,,Was genau bedeuten nochmal diese Kreuze?Ich habe gerade keinen Plan!*shame*
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Zu den Bezeichnungen: Für zwei Mengen A und B ist
A [mm] \times [/mm] B := [mm] \{ (x,y) | x \in A, y \in B \}.
[/mm]
Darüber hinaus zu Deinem Problem:
1.) Es reicht die Aussage, für zwei Mengen zu beweisen (anschließend fahre induktiv fort).
2.) Nach Heine-Borel sind Mengen im [mm] R^{n} [/mm] genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt sind. Letztere sind oftmals ein viel einfacheres Kriterium.
Seien also A und B zwei kompakte Mengen im [mm] R^{n}, [/mm] C := A [mm] \times [/mm] B [mm] \subset \R^{2n}.
[/mm]
Schritt 1: C ist abgeschlossen. Denn sei [mm] c_n [/mm] = [mm] (a_n,b_n) [/mm] eine Folge in C mit [mm] c_n \to [/mm] c. Dann konvergieren auch die einzelnen Komponenten [mm] a_n \to [/mm] a und [mm] b_n \to [/mm] b und, weil A und B abgeschlossen sind, folgt (a,b) [mm] \in [/mm] C. Aus der Eindeutigkeit des Grenzwertes zieht sich c = (a,b) [mm] \in [/mm] C, sprich C ist abgeschlossen.
Schritt 2: C ist beschränkt. Hier nur als Tipp: Sowohl A und B sind beschränkt, d.h. es findet sich ein R > 0, so dass A und B jeweils in der Kugel um den Ursprung mit Radius R liegen. Nun überlege Dir doch mal, in welcher Kugel C liegen könnte? Zur Anschauung könnten zwei Intervalle auf der reellen Achse dienen.
Als Beweismittel könnte auch die Äquivalenz zur Folgenkompaktheit dienen.
Zur Rückrichtung: Versuche doch mal die obigen Argumente rückwärts zu lesen...
Dies nur als Anregung. Viel Erfolg,
Michael
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