kompakte Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 So 27.01.2008 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | (a) Seien [mm] K_1, K_2 [/mm] kompakte Teilmengen eines metrischen Raumes (X,d).
Zeigen Sie: [mm] K_1 \cup K_2 [/mm] und [mm] K_1 \cap K_2 [/mm] sind kompakt.
(b) Falls I eine unendliche Indexmenge und [mm] (K_i)_i_\in_I [/mm] kompakte Teilmengen eines metrischen Raumes sind, sind dann [mm] \cap_i_\in_i K_i [/mm] und [mm] \cup_i_\in_i K_i [/mm] kompakt? Beweisen Sie ihre Aussagen oder geben Sie Gegenbeispiele.
(c) Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist kompakt. |
Hi,
Also ich denke ich sollte mit (c) anfangen, denn wenn ich das bewiesen habe, habe ich ja im Prinzip schon die Hälfte von (a) bewiesen. Allerdings habe ich mit dem Beweis ein wenig Probleme: Ich weiß ja, dass die Teilmenge einer beschränkten Menge wieder beschränkt ist, aber wie ist das mit der Abgeschlossenheit?
zu (b): Das ist doch beinahe das gleiche wie in (a), oder? Nur habe ich hier nicht nur 2 Mengen sondern eben unendlich viele, aber das macht doch eigentlich keinen Unterschied?
zu (a): also ich habe ja dann schon bewiesen, dass der Durchschnitt kompakt ist aber wie beweise ich denn, dass auch die Vereinigung kompakt ist??
Vielen Dank
Gruß Smex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 So 27.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
mach dir erstmal klar, dass in beliebigen metrischen räumen die aus [mm] $\mathbb{R}^d$ [/mm] oder [mm] $\mathbb{C}^d$ [/mm] bekannte äquivalenz "$K$ kompakt [mm] $\Longleftrightarrow$ [/mm] $K$ beschränkt und abgeschlossen" nicht gilt (die richtung [mm] "$\Longrightarrow$" [/mm] gilt zwar stets, aber die umkehrung eben nicht und ich denke die wolltest du hier auch verwenden?). man sollte also mit der definition arbeiten. wie habt ihr kompkatheit denn definiert? als überdeckungskompaktheit oder als folgenkompaktheit? gibt bitte mal eure definition an.
vielleicht mal (unter der voraussetzung, dass dir die überdeckungskompaktheit bekannt ist) ein hinweis zu (a): ist eine offen überdeckung von [mm] $K_1 \cup K_2$ [/mm] vielleicht auch eine offene überdeckung von [mm] $K_1$ [/mm] beziehungsweise [mm] $K_2$? [/mm] kann man mithilfe dieser feststellung vielleicht eine endliche offene überdeckung für [mm] $K_1 \cup K_2$ [/mm] daraus erhalten?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 So 27.01.2008 | | Autor: | Smex |
Also wir haben kompakte Mengen mithilfe von Überdeckungskompaktheit charakterisiert, allerdings nur für M = [mm] \IR [/mm] bewiesen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Smex |
Also ich habe jetzt bei (a) folgendes:
Aus [mm] K_1 [/mm] bzw. [mm] K_2 [/mm] kompakt folgt:
[mm] K_1 [/mm] bzw. [mm] K_2 \subseteq G_a__1 \cup [/mm] ... [mm] \cup G_a__n [/mm] für endl. viele [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_n \in [/mm] I , wobei g = [mm] (G_a)_a_\in_I [/mm] ein System offener Mengen in X ist.
Falls also [mm] K_1 \cup K_2 [/mm] kompakt, folgt also:
[mm] (K_1 \cup K_2) \subseteq (G_a__1 \cup [/mm] ... [mm] \cup G_a__n \cup G_a__m \cup [/mm] ... [mm] \cup G_a__p) [/mm] für endl. viele [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_n \in [/mm] I und endl. viele [mm] a_m, [/mm] ..., [mm] a_p \in [/mm] I
Da die Vereinigung zweier endlicher Mengen wieder endlich ist, ist auch die Menge der Indizes [mm] \{ a_1, ..., a_n, a_m, ..., a_p \} \subseteq [/mm] I endlich.
[mm] \Rightarrow (G_a__1 \cup [/mm] ... [mm] \cup G_a__n \cup G_a__m \cup [/mm] ... [mm] \cup G_a__p) [/mm] ist endliche offene Überdeckung von [mm] K_1 \cup K_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow K_1 \cup K_2 [/mm] ist kompakt
Kann man das so sagen??
Gruß Smex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Mo 28.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich habe jetzt bei (a) folgendes:
>
> Aus [mm]K_1[/mm] bzw. [mm]K_2[/mm] kompakt folgt:
>
> [mm]K_1[/mm] bzw. [mm]K_2 \subseteq G_a__1 \cup[/mm] ... [mm]\cup G_a__n[/mm] für
> endl. viele [mm]a_1,[/mm] ..., [mm]a_n \in[/mm] I , wobei g =
> [mm](G_a)_a_\in_I[/mm] ein System offener Mengen in X ist.
>
> Falls also [mm]K_1 \cup K_2[/mm] kompakt, folgt also:
>
> [mm](K_1 \cup K_2) \subseteq (G_a__1 \cup[/mm] ... [mm]\cup G_a__n \cup G_a__m \cup[/mm]
> ... [mm]\cup G_a__p)[/mm] für endl. viele [mm]a_1,[/mm] ..., [mm]a_n \in[/mm] I und
> endl. viele [mm]a_m,[/mm] ..., [mm]a_p \in[/mm] I
>
> Da die Vereinigung zweier endlicher Mengen wieder endlich
> ist, ist auch die Menge der Indizes [mm]\{ a_1, ..., a_n, a_m, ..., a_p \} \subseteq[/mm]
> I endlich.
>
> [mm]\Rightarrow (G_a__1 \cup[/mm] ... [mm]\cup G_a__n \cup G_a__m \cup[/mm]
> ... [mm]\cup G_a__p)[/mm] ist endliche offene Überdeckung von [mm]K_1 \cup K_2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow K_1 \cup K_2[/mm] ist kompakt
>
>
> Kann man das so sagen??
Ich bin mir nicht sicher, ob du den wesentlichen Punkt verstanden hast: es reicht nicht, die Aussage für eine Überdeckung zu zeigen. Da musst davon ausgehen, dass du eine beliebige offene Überdeckung von [mm]K_1 \cup K_2[/mm] hast und zeigen, dass es eine endliche Teilüberdeckung gibt. Als Voraussetzung hast du diese Aussage für die einzelnen Mengen [mm]K_1[/mm] und [mm]K_2[/mm].
Du kannst nicht ausgehen von getrennten offenen Überdeckungen der beiden Mengen und die Teilüberdeckungen vereinigen, denn nicht jede offene Überdeckung von [mm]K_1 \cup K_2[/mm] lässt sich unterteilen.
Tipp: jede Überdeckung von [mm]K_1 \cup K_2[/mm] ist eine Überdeckung von [mm]K_1[/mm] und von [mm]K_2[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Smex |
zu (c):
Kann ich hier dann nicht einfach sagen, dass jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge natürlich auch Teilmenge der endlichen, offenen Überdeckung der kompakten Menge ist und damit auch kompakt ist ??
Gruß Smex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mo 28.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> zu (c):
> Kann ich hier dann nicht einfach sagen, dass jede
> abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge natürlich
> auch Teilmenge der endlichen, offenen Überdeckung der
> kompakten Menge ist und damit auch kompakt ist ??
Das geht nicht so einfach. Was du damit gezeigt hast, ist nur ein Teil: wenn du eine Überdeckung einer kompakten Menge K hast, so ist jede endliche Überdeckung der Menge auch eine endliche Überdeckung einer Teilmenge [mm]K_1[/mm] von K.
Aber: du musst zeigen, dass jede Überdeckung der Teilmenge [mm]K_1[/mm] eine endliche Überdeckung hast. Es kann eine (unendliche) Überdeckung von [mm]K_1[/mm] geben, die keine Überdeckung von K ist. Du musst also noch zeigen, dass jede Überdeckung der Teilmenge [mm]K_1[/mm], die keine Überdeckung von K ist, auch eine endliche Teilüberdeckung enthält.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Smex |
Achso, und wie macht man sowas? Tut mir leid, aber aus irgendeinem Grund habe ich keinerlei Ahnung wie sowas geht.
Gruß Smex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Mo 28.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Achso, und wie macht man sowas? Tut mir leid, aber aus
> irgendeinem Grund habe ich keinerlei Ahnung wie sowas
> geht.
Du könntest natürlich einfach mal in ein Topologie-Lehrbuch schauen, da steht dieser Beweis in der Regel drin. 
Ich würde so argumentieren:
Sei K kompakt, [mm]K_1\subset K[/mm] abgeschlossen. Dann ist das Komplement [mm]\overline{K_1}[/mm] offen. Ist [mm]\bigcup_i G_i[/mm] eine offene Überdeckung von [mm]K_1[/mm], so ist [mm]\overline{K_1}\cup \bigcup_i G_i[/mm] eine offene Überdeckung von K. Da K kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung von K, die automatisch Teilüberdeckung von [mm]K_1[/mm] ist, weil [mm]K_1\subset K[/mm].
Du siehst insbesondere, dass der Beweis nicht funktioniert, wenn [mm]K_1[/mm] nicht abgeschlossen ist, denn dann ist [mm]\overline{K_1}[/mm] nicht offen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Mo 28.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ich habe die Diskussion ins Forum "Topologie" verschoben.
> (a) Seien [mm]K_1, K_2[/mm] kompakte Teilmengen eines metrischen
> Raumes (X,d).
> Zeigen Sie: [mm]K_1 \cup K_2[/mm] und [mm]K_1 \cap K_2[/mm] sind kompakt.
>
> (b) Falls I eine unendliche Indexmenge und [mm](K_i)_i_\in_I[/mm]
> kompakte Teilmengen eines metrischen Raumes sind, sind dann
> [mm]\cap_i_\in_i K_i[/mm] und [mm]\cup_i_\in_i K_i[/mm] kompakt? Beweisen Sie
> ihre Aussagen oder geben Sie Gegenbeispiele.
>
> (c) Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist
> kompakt.
> Hi,
>
> Also ich denke ich sollte mit (c) anfangen, denn wenn ich
> das bewiesen habe, habe ich ja im Prinzip schon die Hälfte
> von (a) bewiesen. Allerdings habe ich mit dem Beweis ein
> wenig Probleme: Ich weiß ja, dass die Teilmenge einer
> beschränkten Menge wieder beschränkt ist, aber wie ist das
> mit der Abgeschlossenheit?
>
> zu (b): Das ist doch beinahe das gleiche wie in (a), oder?
> Nur habe ich hier nicht nur 2 Mengen sondern eben unendlich
> viele, aber das macht doch eigentlich keinen Unterschied?
Das macht sogar einen sehr großen Unterschied!
Kompaktheit hat sehr viel mit Endlichkeit zu tun: es geht um die Existenz einer endlichen Teilüberdeckung.
Viele Grüße
Rainer
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