kompakte Mengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mo 27.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Ich habe eine Frage bezüglich kompakter Mengen.
Wenn ich es als richtig verstanden habe, dann ist der [mm] \IR^n [/mm] zugleich offen und abgeschlossen. Ist aber auch der [mm] \IR^n [/mm] kompakt??
Eigentlich müsste er ja kompakt sein, wenn man Unendlichkeitsstellen nicht zu lässt und er somit beschränkt wäre oder ??????
Denn nach Definition gilt ja, dass eine Teilmenge eines metrischen Raumes, welche abgeschlossen und beschränkt ist, auch kompakt ist.
Oder ist der [mm] \IR^n [/mm] doch nicht kompakt??
Vielen Dank im Voraus!!
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Du hast recht damit, daß agbeschlossene und beschränkte Teilmengen U von [mm] \IR^n [/mm] kompakt sind, denn das sagt ja der Satz von Heine-Borel.
Andererseits ist es in jedem metrischen Raum so, daß kompakte Mengen beschränkt und abgeschlossen sind, und das ist der [mm] \IR^n [/mm] wohl nicht.
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Mo 27.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Du hast recht damit, daß agbeschlossene und beschränkte
> Teilmengen U von [mm]\IR^n[/mm] kompakt sind, denn das sagt ja der
> Satz von Heine-Borel.
Wichtig hier: die Umkehrung gilt im Allgemein nicht, wenn man nur metrisch vorraussetzt! Man kann sehr wohl die normale Metrik so modifizieren, daß sie die gleiche Topologie erezeugen, aber alle Abstände kleiner 1 sind. Man braucht hier eine Norm dazu.
Im Übrigen: welcher Satz von Heine-Borel? Das kenne ich eher als die Überdeckungseigenschaft, und es gilt ja [m]\IR^n=\cup_{n\in\IN} B_{\frac{1}{n}}(0)[/m], aber man kann sicher keine endliche Teilüberdeckung finden.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mo 27.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Mir ist noch nicht ganz klar, aus Teilmengen, die abgeschlossen und beschränkt sind, folgt Kompaktheit.
Aber gibt es auch kompakte Mengen, die NICHT abgeschlossen oder NICHT beschränkt sind? Oder: Teilmenge welche beschränkt+abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] kompakt ( Also gilt die Hin- als auch Rückrichtung)???
Vielen Dank!!
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Hallo holg47,
Def. (Kompaktheit): Eine Teilmenge K [mm] \subset [/mm] X heisst kompakt, falls jede offene Überdeckung von K eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Wenn wir in [mm] \IK^n [/mm] sind, dann hast das Theorem von Heine-Borel:
Theorem (Heine-Borel): Eine Teilmenge von [mm] \IK^n [/mm] ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Ist X ein metrischer Raum, so gibt es zwei Theoreme:
Theorem: Eine Teilmenge eines metrischen Raumes ist genau dann kompakt, wenn sie folgenkompakt ist.
Theorem: Eine Teilmenge eines metrischen Raumes ist genau dann kompakt, wenn sie vollständig und totalbeschränkt ist.
Hier merkst du, dass Beschräkheit nicht ausreichend ist. Man braucht die totale Bechräkheit einer Menge, d.h man braucht zu jedem r > 0 eine endliche Überdeckung in Form der endlichen Vereinigung von Kugeln [mm] B(r,x_{m}), (x_{m}) [/mm] eine Folge in K.
Ausserdem bnötigt man "vollständig": Ein metrischer Raum X heisst vollständig, wenn jede Cauchyfolge in X konvergiert.
gruss,
logarithmus
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