kompakte Träger, Norm < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Di 15.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Es bezeichne [mm] $C^1_0(a,b)$ [/mm] den Raum der stetig differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger, d.h. für [mm] $f\in C^1_0(a,b)$ [/mm] existieren [mm] $\alpha, \beta\in(a,b)$, $\alpha<\beta$, [/mm] mit $f(x)=0$ für [mm] $x\notin[\alpha, \beta]$.
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] $||f||:=\sup_{x\in(a,b)}|f'(x)|$
[/mm]
ist eine Norm auf [mm] $C^1_0(a,b)$ [/mm] |
Hi,
ich würde gerne diese Aufgabe bearbeiten.
Um zu zeigen, dass es sich um eine Norm handelt müssen ja bekanntlich die drei Eigenschaften erfüllt sein:
1.
[mm] $||x||=0\Rightarrow [/mm] x=0$
2.
[mm] $||ax||=|a|\cdot [/mm] ||x||$
3.
[mm] $||x+y||\leq [/mm] ||x||+||y||$
Die Definitheit ist eindeutig erfüllt, da wenn f die Nullfunktion ist, dann ist auch das Supremum der Ableitung einfach Null.
Die Homogenität sollte daraus folgen, dass konstante Faktoren beim Ableiten einfach mitgeschleppt werden, oder?
Für die Dreiecksungleichung denke ich, dass man vielleicht mit dem Mittelwertsatz ansetzen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Di 15.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es bezeichne [mm]C^1_0(a,b)[/mm] den Raum der stetig
> differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger, d.h.
> für [mm]f\in C^1_0(a,b)[/mm] existieren [mm]\alpha, \beta\in(a,b)[/mm],
> [mm]\alpha<\beta[/mm], mit [mm]f(x)=0[/mm] für [mm]x\notin[\alpha, \beta][/mm].
>
> Zeigen Sie:
>
> [mm]||f||:=\sup_{x\in(a,b)}|f'(x)|[/mm]
>
> ist eine Norm auf [mm]C^1_0(a,b)[/mm]
> Hi,
>
> ich würde gerne diese Aufgabe bearbeiten.
>
> Um zu zeigen, dass es sich um eine Norm handelt müssen ja
> bekanntlich die drei Eigenschaften erfüllt sein:
>
> 1.
>
> [mm]||x||=0\Rightarrow x=0[/mm]
>
> 2.
>
> [mm]||ax||=|a|\cdot ||x||[/mm]
>
> 3.
>
> [mm]||x+y||\leq ||x||+||y||[/mm]
>
> Die Definitheit ist eindeutig erfüllt, da wenn f die
> Nullfunktion ist, dann ist auch das Supremum der Ableitung
> einfach Null.
Da machst Du Dir es aber zu einfach !
Aus f [mm] \in [/mm] $ [mm] C^1_0(a,b) [/mm] $ und $||f||=0$ folgt zunächst, dass f'(x)=0 ist für alle x [mm] \in [/mm] (a,b). Daraus folgt, dass f auf (a,b) konstant ist. Zu zeigen ist: f(x)=0 für alle x [mm] \in [/mm] (a,b).
>
> Die Homogenität sollte daraus folgen, dass konstante
> Faktoren beim Ableiten einfach mitgeschleppt werden, oder?
Ja, schreib das mal sauber auf.
>
> Für die Dreiecksungleichung denke ich, dass man vielleicht
> mit dem Mittelwertsatz ansetzen kann.
Nein. Der MWS hilft Dir nix.
Für f,g [mm] \in [/mm] $ [mm] C^1_0(a,b) [/mm] $ ist doch
$ |f'(x)+g'(x)| [mm] \le [/mm] |f'(x)|+|g'(x)| [mm] \le [/mm] ||f||+||g||$ für alle x [mm] \in [/mm] (a,b)
Jetzt Du.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Di 15.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Erstmal nur zur 1.
Also wenn ich zeigen möchte, dass f auf ganze (a,b) müsste ich ja zeigen, dass [mm] $x\notin [\alpha, \beta]$, [/mm] weil dann wäre f(x)=0.
Dann müsste ich mir das Intervall [mm] $(a,b)\setminus [\alpha, \beta]$ [/mm] ansehen.
Wenn die Intervalle Disjunkt sind, dann ist nichts zu zeigen.
Wenn sie aber nicht Disjunkt sind und zum Beispiel gelten würde, dass
[mm] $a<\alpha<\beta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Di 15.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
1. a < [mm] \alpha [/mm] < [mm] \beta [/mm] <b.
2. f ist auf (a,b) konstant.
3. f(x)=0 für alle x [mm] \in (\alpha, \beta)
[/mm]
Edit: 3. lautet natürlich so:
f(x)=0 für alle x [mm] \in [/mm] (a, [mm] \alpha) [/mm] und alle x [mm] \in [/mm] ( [mm] \beta,b)
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Di 15.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Wieso wäre denn nun $f(x)=0$ für [mm] $x\in (\alpha, \beta)$.
[/mm]
Also wenn f auf (a,b) Konstant ist, dann natürlich auch auf dem Intervall [mm] $\alpha<\beta$. [/mm] Widerspricht sich das nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Di 15.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wieso wäre denn nun [mm]f(x)=0[/mm] für [mm]x\in (\alpha, \beta)[/mm].
Ich hatte mich oben verschrieben. Richtig lautet das so:
f(x)=0 für alle x [mm] \in [/mm] (a, [mm] \alpha) [/mm] und alle x [mm] \in [/mm] ( [mm] \beta,b)
[/mm]
FRED
>
> Also wenn f auf (a,b) Konstant ist, dann natürlich auch
> auf dem Intervall [mm]\alpha<\beta[/mm]. Widerspricht sich das
> nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Di 15.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Hatte ich bereits vermutet, dass es nur ein Tippfehler war.
Dann müsste ich nun zeigen, dass f(x)=0 gilt auch für ein Intervall
[mm] [\alpha+\epsilon,\beta-\delta]
[/mm]
Wobei [mm] $\epsilon,\delta>0$ [/mm] und [mm] $\epsilon$ [/mm] und [mm] $\delta \rightarrow [/mm] 0$
Ich ziehe das Intervall also "zusammen" bis irgendwann [mm] $\alpha=\beta$ [/mm] ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Di 15.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hatte ich bereits vermutet, dass es nur ein Tippfehler
> war.
>
> Dann müsste ich nun zeigen, dass f(x)=0 gilt auch für ein
> Intervall
>
> [mm][\alpha+\epsilon,\beta-\delta][/mm]
>
> Wobei [mm]\epsilon,\delta>0[/mm] und [mm]\epsilon[/mm] und [mm]\delta \rightarrow 0[/mm]
>
> Ich ziehe das Intervall also "zusammen" bis irgendwann
> [mm]\alpha=\beta[/mm] ist.
Mein Gott ist das mühsam. Wenn f auf (a,b) konstant ist und auf einem Teilntervall von (a,b) konstant =0 ist, dann ist doch f(x)=0 für alle x [mm] \in [/mm] (a,b) !!!
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:17 Di 15.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Das hatte ich doch oben schon einmal geschrieben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 17.07.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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