komplementärer Raum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper und V ein endlich erzeugter [mm] \IK [/mm] -Vektorraum. Weiter sei U [mm] \subseteq [/mm] V ein lineraer Unterraum. Zeigen Sie, dass es einen zu U komplementären lineraren Unterraum U' [mm] \subseteq [/mm] V gibt, d.h. es gibt einen Unterraum U' mit U+U'=V und U [mm] \cap [/mm] U'={0}. Ist dieses U' durch U eindeutig bestimmt?
Es sei nun V= [mm] \IK^n [/mm] für ein n [mm] \in \IN [/mm] und U= [mm] {(x_1, x_2,...x_n) \in \IK^n: \summe_{i=1}^{n} x_i=0} \subseteq \IK^n. [/mm] Bestimmen Sie einen zu U komplenentären Raum durch Angabe einer Basis. |
Hallo,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Muss ich zunächst die Unterraumaxiome nachweisen? Was bedeutet komplementär? Mir fehlt irgendwie der Ansatz. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte. Danke...
|
|
| |
|
> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper und V ein endlich erzeugter [mm]\IK[/mm]
> -Vektorraum. Weiter sei U [mm]\subseteq[/mm] V ein lineraer
> Unterraum. Zeigen Sie, dass es einen zu U komplementären
> lineraren Unterraum U' [mm]\subseteq[/mm] V gibt, d.h. es gibt einen
> Unterraum U' mit U+U'=V und U [mm]\cap[/mm] U'={0}. Ist dieses U'
> durch U eindeutig bestimmt?
> Es sei nun V= [mm]\IK^n[/mm] für ein n [mm]\in \IN[/mm] und U= [mm]{(x_1, x_2,...x_n) \in \IK^n: \summe_{i=1}^{n} x_i=0} \subseteq \IK^n.[/mm]
> Bestimmen Sie einen zu U komplenentären Raum
> durch Angabe einer Basis.
> Hallo,
> kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Muss ich
> zunächst die Unterraumaxiome nachweisen? Was bedeutet
> komplementär?
Eben, dass [mm]U+U'=V[/mm] und [mm]U\cap U'=\{\vec{0}\}[/mm], d.h. [mm]V=U\oplus U'[/mm] ("direkte Summe").
Tipp: Du kannst die linke Seite von [mm]\summe_{i=1}^{n} x_i=0[/mm] als ein Skalarprodukt [mm]\summe_{i=1}^{n} 1\cdot x_i[/mm] auffassen, das [mm]=0[/mm] sein muss. Das heisst: [mm]U[/mm] besteht aus allen Vektoren
[mm]\vektor{x_1\\x_2\\\vdots \\ x_n}[/mm]
von [mm]V[/mm] die, bezüglich dem Standardskalarprodukt, senkrecht auf dem Vektor
[mm]\vektor{1\\1\\\vdots \\ 1}[/mm]
stehen. Wenn Dir der Begriff des "orthogonalen Komplements" [mm]U^{\perp}[/mm] noch nicht begegnet ist, kannst Du eine Basis von [mm]U'[/mm] auch mittels einer Dimensionsüberlegung finden: wie gross ist die Dimension des Teilraumes [mm]U[/mm]? (siehe Theorie der homogen-linearen Gleichungssysteme und deren Beziehung zum Begriff Vektorraum) Und wenn Du diese Frage beantwortet hast: wie gross muss dann die Dimension von [mm]U'[/mm] sein? Und schliesslich, letzte Frage, die Du beantworten musst, bevor Du voll punkten kannst: welcher Vektor (der Dir vor der Nase liegt - oder steht) kann als Basisvektor von [mm]U'[/mm] verwendet werden (weil er sicher nicht der Nullvektor ist und auch nicht in [mm]U[/mm] liegt)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Millili |
Hallo, ich beschäftige mich auch gerade mit der Aufgabe ...
Also erst einmal zu dem komplementären UNterraum. Dieser ist also von U grundverschieden, außer, dass die beiden sich in der Null schneiden?
Jetzt soll ja gezeigt werden U+U´=V
Kann ich das machen, indem ich mir z.B. einen K- Vektorraum V konstruiere, der aus Elementen xi und yi besteht mit xi [mm] \in [/mm] U und yi [mm] \in [/mm] U´?
und U [mm] \cap [/mm] U ´= {0 } müsste doch gelten, weil beides Unterräume sind und für diese gilt , dass 0 enthalten sein muss?
|
|
|
| |
|
> Hallo, ich beschäftige mich auch gerade mit der Aufgabe
> ...
>
> Also erst einmal zu dem komplementären UNterraum. Dieser
> ist also von U grundverschieden, außer, dass die beiden
> sich in der Null schneiden?
Im Nullvektor. Natürlich: jeder Unterraum enthält den Nullvektor. Fraglich ist höchstens, ob im Durchschnitt zweier Unterräume allenfalls mehr als nur der Nullvektor enthalten ist.
>
> Jetzt soll ja gezeigt werden U+U´=V
>
> Kann ich das machen, indem ich mir z.B. einen K- Vektorraum
> V konstruiere, der aus Elementen xi und yi besteht mit xi
> [mm]\in[/mm] U und yi [mm]\in[/mm] U´?
>
> und U [mm]\cap[/mm] U ´= {0 } müsste doch gelten, weil beides
> Unterräume sind und für diese gilt , dass 0 enthalten sein
> muss?
Nicht ganz, nur beinahe. Was sicher gilt ist (siehe oben): [mm]U\cap U' \supseteq \{\vec{0}\}[/mm]. Dies einfach, weil jeder Teilvektorraum (Unterraum) den Nullvektor enthält. Eine Teilmenge von [mm]V[/mm], die den Nullvektor nicht enthält kann auch kein Unterraum sein (weder von [mm]V[/mm] noch von sonst was).
Es genügt aber nicht, einfach verschiedene Vektoren [mm]\vec{x}_i\in U[/mm] und [mm]\vec{y}_j\in U'[/mm] zu nehmen und zu behaupten (was Du möglicherweise behaupten wolltest: ich bin aber nicht ganz sicher), dass, weil diese [mm]\vec{x}_i[/mm] von den [mm]\vec{y}_j[/mm] paarweise verschieden seien, würde der Durchschnitt der von ihnen aufgespannten Teilräume [mm]U[/mm] bzw. [mm]U'[/mm] auch nur den Nullvektor enthalten. Denn beim Bilden aller Linearkombinationen z.B der des Erzeugendensystems der [mm]\vec{x}_i\in U[/mm] von [mm]U[/mm] können durchaus gegebenenfalls manche (ja vielleicht sogar alle!) Vektoren des Erzeugendensystems der [mm]\vec{y}_j\in U'[/mm] von [mm]U'[/mm] gebildet werden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Millili |
hmm,ja okay da hast du recht.
Könnte ich denn dann nicht eine Basis von U nehmen t.B (a1, ...., ar) und diese mit (ar+a,....an) zu einer Basis von V ergänzen?
Dann würde U durch (a1,....ar) aufgespannt und U´durch ( ar+1, ...., an).
und die direkte Summe dieser Basen wäre dann =V?
|
|
|
| |
|
> hmm,ja okay da hast du recht.
> Könnte ich denn dann nicht eine Basis von U nehmen t.B
> (a1, ...., ar) und diese mit (ar+a,....an) zu einer Basis
> von V ergänzen?
Ja, sicher.
> Dann würde U durch (a1,....ar) aufgespannt und U´durch ( ar+1, ...., an).
> und die direkte Summe dieser Basen wäre dann =V?
Man würde, m.E., von der direkten Summe der von den beiden Basen aufgespannten Unterräumen [mm]U := [a_1,\ldots,a_r][/mm] und [mm]U' := [a_{r+1}, \ldots a_n][/mm] sprechen, aber wohl eher nicht von der direkten Summe der beiden Basen.
Weil die Vektoren [mm]a_1, \ldots, a_r, a_{r+1},\ldots, a_n[/mm], gemäss Konstruktion, linear unabhängig sind und [mm]n=\dim(V)[/mm] ist, kann man sicher sein, dass [mm]U+U'=V[/mm] und [mm]U\cap U'=\{\vec{0}\}[/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Dave11 |
Hi , ich beschäftige mich gerade auch mit der Aufgabe.
> Wenn Dir der Begriff
> des "orthogonalen Komplements" [mm]U^{\perp}[/mm] noch nicht
> begegnet ist, kannst Du eine Basis von [mm]U'[/mm] auch mittels
> einer Dimensionsüberlegung finden:
Also der Begriff der orthogonalität ist mir aus der Schule noch bekannt.
In der Vorlesung haben wir den jedoch noch nicht besprochen.
Habe aber nach geschlagen und dies bezüglich Unterräumen gefunden:
Zwei Unterräume V und W des Vektorraumes heißen orthogonal zu einander, wenn jeder Vektor v aus V und jeder Vektor w aus W orthogonal zu einander sind, d.h. ihr Skalarprodukt v · w = 0 bzw. vT · w = 0 sind.
Wie kann ich nun U' mittels Skalarprodukt bestimmen???
|
|
|
| |
|
> Hi , ich beschäftige mich gerade auch mit der Aufgabe.
>
> > Wenn Dir der Begriff
> > des "orthogonalen Komplements" [mm]U^{\perp}[/mm] noch nicht
> > begegnet ist, kannst Du eine Basis von [mm]U'[/mm] auch mittels
> > einer Dimensionsüberlegung finden:
>
> Also der Begriff der orthogonalität ist mir aus der Schule
> noch bekannt.
> In der Vorlesung haben wir den jedoch noch nicht
> besprochen.
>
> Habe aber nach geschlagen und dies bezüglich Unterräumen
> gefunden:
>
> Zwei Unterräume V und W des Vektorraumes heißen orthogonal
> zu einander, wenn jeder Vektor v aus V und jeder Vektor w
> aus W orthogonal zu einander sind, d.h. ihr Skalarprodukt
> v · w = 0 bzw. vT · w = 0 sind.
>
> Wie kann ich nun U' mittels Skalarprodukt bestimmen???
Du bestimmst nicht ganz [mm]U'[/mm], das heisst, nicht jeden einzelnen Vektor in [mm]U'[/mm], sondern lediglich eine Basis von [mm]U'[/mm].
Die Frage ist, in welcher Form [mm]U[/mm] gegeben ist. Falls Du eine Basis [mm]\vec{e}_{i=1,\ldots,\dim(U)}[/mm] von [mm]U[/mm] kennst, kannst Du einfach das homogen-lineare System
[mm]\pmat{\vec{e}_1\cdot \vec{u'} & = &0\\
\vec{e}_2\cdot \vec{u'} & = &0\\
& \vdots &\\
\vec{e}_{\dim(U)}\cdot \vec{u'} &=& 0}[/mm]
aus [mm]\dim(U)[/mm] Gleichungen lösen, das die Vektoren [mm]\vec{u'}\in U'[/mm] erfüllen müssen.
Da die [mm]\dim(U)[/mm] Zeilenvektoren linear-unabhängig sind, hat dieses homogen-lineare Gleichungssystem einen Lösungsraum [mm]U'[/mm] der Dimension [mm]\dim(V)-\dim(U)[/mm]. Aus dessen allgemeiner Lösung entnimmst Du einfach die gesuchten [mm]\dim(V)-\dim(U)[/mm] Basisvektoren von [mm]U'[/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Millili |
Hmm also die Basis von U haben wir gegeben durch:
B = ( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ .... \\ 0\\ -1}, \vektor{0 \\ 1 \\ .... \\ 0\\ -1}, ....\vektor{0 \\ 0 \\ .... \\ 1\\ -1}
[/mm]
Nur so ganz verstehe ich jetzt nicht, wie ich das auf dein Gleichungssystem anwenden soll..Könntest du das vllt noch einmal genauer erläutern, wäre nett...
|
|
|
| |
|
> Hmm also die Basis von U haben wir gegeben durch:
>
> B = ( [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ .... \\ 0\\ -1}, \vektor{0 \\ 1 \\ .... \\ 0\\ -1}, ....\vektor{0 \\ 0 \\ .... \\ 1\\ -1}[/mm]
>
> Nur so ganz verstehe ich jetzt nicht, wie ich das auf dein
> Gleichungssystem anwenden soll..Könntest du das vllt noch
> einmal genauer erläutern, wäre nett...
Also im Prinzip würde man folgendes System erhalten (aber effektiv hinschreiben würde man dies kaum):
[mm]\begin{array}{rclcl|}
\vec{e}_1 &\cdot & \vec{u'} &=& 0\\
\vec{e}_2 &\cdot & \vec{u'} &=& 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \vdots\\
\vec{e}_{n-1} & \cdot & \vec{u'} &=& 0\\\cline{1-5}
\end{array}[/mm]
oder, in Koordinaten geschrieben,
[mm]\begin{array}{rcrcrcrcrcl|}
1\cdot u'_1 &+& 0\cdot u'_2 &+& \cdots &+& 0\cdot u'_{n-1} &+& (-1)\cdot u'_n &=& 0\\
0\cdot u'_1 &+& 1\cdot u'_2 &+& \cdots &+& 0\cdot u'_{n-1} &+& (-1)\cdot u'_n &=& 0\\
\vdots &\vdots& \vdots &\vdots & \cdots &\vdots& \vdots &\vdots & \vdots &\vdots & \vdots\\
0\cdot u'_1 &+& 0\cdot u'_2 &+& \cdots &+& 1\cdot u'_{n-1} &+& (-1)\cdot u'_n &=& 0\\\cline{1-11}
\end{array}[/mm]
Wegen der linearen Unabhängigkeit der [mm]n-1[/mm] Zeilenvektoren, hat dieses Gleichungssystem aus [mm]n-1[/mm] homogen-linearen Gleichungen einen Lösungsraum der Dimension [mm]n-(n-1)=1[/mm]. Es genügt also im Prinzip einen einzigen Vektor [mm]\neq \vec{o}[/mm] zu finden, der alle diese Gleichungen erfüllt. Dieser eine Vektor kann dann als Basis des zu [mm]U=[\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_{n-1}][/mm] orthogonal-komplementären Unterraumes [mm]U^\perp[/mm] verwendet werden.
Ich denke es ist offensichtlich, dass etwa der folgende Vektor [mm]\vec{u'}[/mm] eine Lösung ist:
[mm]\vec{u'} := \vektor{1\\1\\ \vdots \\ 1}[/mm]
Das orthogonale Komplement von [mm]U[/mm] ist somit [mm]U^\perp := [\vec{u'}][/mm].
Natürlich ist im Allgemeinen das Ablesen einer Basis des Lösungsraumes eines solchen homogen-linearen Gleichungssystems nicht immer derart trivial wie bei diesem Beispiel.
Bem: Wäre man einfach nur an einem zu [mm]U[/mm] komplementären Unterraum [mm]U'[/mm] (nicht unbedingt seinem orthogonalen Komplement [mm]U^\perp[/mm]) interessiert, könnte man die Basis von [mm]U'[/mm] einfach zu einer Basis des Gesamtraumes [mm]V[/mm] erweitern. Dafür würde z.B. auch der Vektor
[mm]\vec{u'} := \vektor{0\\0\\\vdots\\0\\1}[/mm]
taugen. Der von diesem Vektor aufgespannte Unterraum [mm]U' := [\vec{u'}][/mm] ist allerdings nicht orthogonal zu [mm]U[/mm]. Dennoch gilt [mm]V=U\oplus U'[/mm].
|
|
|
|
