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komplexe Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:40 So 26.08.2018
Autor: sancho1980

Hallo

die komplexe Exponentialfunktion ist laut meinem Buch folgendermaßen definiert:

exp: [mm] \IC \to \IC [/mm]

z = x + iy [mm] \mapsto e^z [/mm] = [mm] e^x [/mm] (cos(y) + i sin(y))

der komplexe Logarithmus ist sodann so definiert:

Log : [mm] \IC \backslash \{ 0 \} \to \IC [/mm]

z = [mm] re^{i arg(z)} \mapsto [/mm] Log(z) = ln(r) + i arg(z)

Jetzt hatte ich mir gedacht, wenn ich den komplexen Logarithmus einer komplexen Zahl z = [mm] e^{x + iy} [/mm] ausrechne, müsste ich nach Umstellung das Ergebnis x + iy erhalten. Ist aber leider nicht so einfach:

z = [mm] e^{x + iy} [/mm] = [mm] e^x [/mm] (cos(y) + i sin(y)) = [mm] e^x [/mm] cos(y) + [mm] e^x [/mm] sin(y) i

[mm] \Rightarrow [/mm] r = [mm] \wurzel{e^{2x} cos^2(y) + e^{2x} sin^2(y)}, [/mm] arg(z) = [mm] arccos(\bruch{e^x cos(y)}{\wurzel{e^{2x} cos^2(y) + e^{2x} sin^2(y)}}) [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] Log(z) = [mm] ln(\wurzel{e^{2x} cos^2(y) + e^{2x} sin^2(y)}) [/mm] + i [mm] arccos(\bruch{e^x cos(y)}{\wurzel{e^{2x} cos^2(y) + e^{2x} sin^2(y)}}) [/mm]

Sollte es jetzt möglich sein, zu zeigen, dass dieser Ausdruck äquivalent tu x + iy ist?

        
Bezug
komplexe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:12 So 26.08.2018
Autor: fred97


> Hallo
>  
> die komplexe Exponentialfunktion ist laut meinem Buch
> folgendermaßen definiert:
>  
> exp: [mm]\IC \to \IC[/mm]
>  
> z = x + iy [mm]\mapsto e^z[/mm] = [mm]e^x[/mm] (cos(y) + i sin(y))
>  
> der komplexe Logarithmus ist sodann so definiert:
>  
> Log : [mm]\IC \backslash \{ 0 \} \to \IC[/mm]
>  
> z = [mm]re^{i arg(z)} \mapsto[/mm] Log(z) = ln(r) + i arg(z)
>  
> Jetzt hatte ich mir gedacht, wenn ich den komplexen
> Logarithmus einer komplexen Zahl z = [mm]e^{x + iy}[/mm] ausrechne,
> müsste ich nach Umstellung das Ergebnis x + iy erhalten.
> Ist aber leider nicht so einfach:
>  
> z = [mm]e^{x + iy}[/mm] = [mm]e^x[/mm] (cos(y) + i sin(y)) = [mm]e^x[/mm] cos(y) + [mm]e^x[/mm]
> sin(y) i
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] r = [mm]\wurzel{e^{2x} cos^2(y) + e^{2x} sin^2(y)},[/mm]
> arg(z) = [mm]arccos(\bruch{e^x cos(y)}{\wurzel{e^{2x} cos^2(y) + e^{2x} sin^2(y)}})[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] Log(z) = [mm]ln(\wurzel{e^{2x} cos^2(y) + e^{2x} sin^2(y)})[/mm]
> + i [mm]arccos(\bruch{e^x cos(y)}{\wurzel{e^{2x} cos^2(y) + e^{2x} sin^2(y)}})[/mm]
>  
> Sollte es jetzt möglich sein, zu zeigen, dass dieser
> Ausdruck äquivalent tu x + iy ist?


Sollte  [mm] $\cos^2 [/mm] (t) [mm] +\sin^2 [/mm] (t)=1 $  sein, so solltest du das zeigen können. .......


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komplexe Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:50 So 26.08.2018
Autor: sancho1980

Heureka!

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komplexe Funktionen: griechisch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:15 So 26.08.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Nach Wikipedia:

Heureka ist altgriechisch (εὕρηκα) und heißt „Ich habe [es] gefunden“ .....

Passt also hier nicht so ganz.

LG

Bezug
                                
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komplexe Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:38 So 26.08.2018
Autor: sancho1980

juchhu

Bezug
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