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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - komplexe Funktionsfolgen
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komplexe Funktionsfolgen: Korrektur
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:51 Mo 10.11.2008
Autor: grenife

Aufgabe
Untersuchen Sie, welche der nachfolgenden Funktionsfolgen [mm] (f_n)_{n\geq 1} [/mm] punktweise bzw. gleichmäßig konvergieren:
(1) [mm] f_n(z):=z+\frac{1}{n} [/mm]
(2) [mm] f_n(z):=n+\frac{1}{z} [/mm]
(3) [mm] f_n(z):=\frac{1}{nz} [/mm]
(4) [mm] f_n(z):=\frac{n+z}{nz} [/mm]

Hallo zusammen,

wäre nett, wenn jemand über meine Zwischenergebnisse schauen könnte.

zu (1): für jedes feste [mm] z\in\mathbb{C} [/mm] ist [mm] f_n(z) [/mm] die Summe aus der konstanten Folge [mm] (z)_{n\geq 1} [/mm] und einer Nullfolge, also konvergiert [mm] f_n [/mm] punktweise gegen die Identität auf [mm] \mathbb{C}. [/mm]

zu (2): für ein festes [mm] z\in\mathbb{C} [/mm] ist [mm] f_n(z) [/mm] unbeschränkt, also kann [mm] f_n [/mm] weder punktweise noch glm. konvergieren.

zu (3): für ein festes [mm] z\in\mathbb{C} [/mm] (exklusive der Null) ist [mm] f_n(z) [/mm] das Produkt einer konstanten Folge und einer Nullfolge, [mm] f_n [/mm] konvergiert daher punktweise gegen die Nullabbildung.

zu (4): Umgeformt ergibt sich [mm] f_n(z):=\frac{1}{z} +\frac{1}{n}. [/mm] Demnach ist für ein festes [mm] z\in\mathbb{C} f_n(z) [/mm] die Summe aus einer Nullfolge und der konstanten Folge [mm] \frac{1}{z}, [/mm] welche wiederum die Grenzfunktion ist, gegen die [mm] f_n [/mm] punktweise konvergiert.

Vielen Dank und viele Grüße
Gregor

        
Bezug
komplexe Funktionsfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Mo 10.11.2008
Autor: pelzig

Alles was du geschrieben hast ist richtig. Bleibt ja nur noch die gleichmäßige Konvergenz zu prüfen.

Gruß, Robert

Bezug
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