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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - komplexe Gleichung
komplexe Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:02 Mi 15.07.2009
Autor: itse

Aufgabe
Lösen Sie die komplexe Gleichung [mm] $|z|^2 [/mm] = z+2-i$

Hallo Zusammen,

ich bin wie folgt vorgegangen:

[mm] $|z|^2 [/mm] = z+2-i$

$z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z = z+2-i$

$z [mm] (\bar [/mm] z - 1) = 2-i$                 | nun sei: $z=x+iy$ -> [mm] $\bar [/mm] z = x-iy$

$(x+iy)(x-iy-1)=2-i$

[mm] $x^2-xiy-x+xiy-i^2y^2-iy=2-i$ [/mm]

[mm] $x^2-x+y^2-iy=2-i$ [/mm]

Damit beiden Seiten gleich sind, müssen Real- und Imaginärteil übereinstimmen:

[mm] $x^2-x+y^2 [/mm] = 2 -> [mm] x^2-x [/mm] = 1 -> [mm] x^2-x-1 [/mm] = 0$

$-y = -1 -> y = 1$

[mm] $x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{1 \pm \wurzel{5}}{2}$ [/mm]

-> [mm] $x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2}$ [/mm]

-> [mm] $x_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2}$ [/mm]

Lösungen der komplexen Gleichung wären dann:

[mm] $z_1 [/mm] = [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] + i$

[mm] $z_2 [/mm] =  [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] - i$

Stimmt diese Lösung?

Gruß,
itse

        
Bezug
komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:31 Mi 15.07.2009
Autor: sunshinekid

Leider ist schon deine zweite Zeile falsch... Denn:

$|z| = [mm] \sqrt{z \cdot \overline{z}}$ [/mm]

Als weiteren Tipp: Du hast links den Betrag stehen. Dieser ist immer reell, also ist der Imaginärteil $0$. Auf der rechten Seite hast du $z$ und $i$. Daraus kannst du den Imaginärteil von $z$ ablesen, der immer $+i$ sein muss.

MfG Sunny

PS: Den Betrag kann man auch als $|z| = [mm] \sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] schreiben. Damit bekommt man den Realteil relativ zügig berechnet.

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Bezug
komplexe Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:41 Mi 15.07.2009
Autor: itse

Danke für die Antwort.

Jedoch wurde das Quadrat nach den Betragsstrichen bei z auf der linken Seite nicht angezeigt. Habe es mit [mm] |z|^2 [/mm] probiert, nun wird das Quadrat angezeigt.

Deswegen habe ich die Frage auf unbeantwortet zurückgestellt.

Sorry,
itse

Bezug
        
Bezug
komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:47 Mi 15.07.2009
Autor: angela.h.b.


> Stimmt diese Lösung?

Hallo,

ja, Du hast es richtig gemacht,

EDIT: mußt nun aber auch die gefundenen [mm] x_1, x_2, [/mm] y  richtig  in z=x+iy einsetzen.

Gruß v. Angela

Bezug
        
Bezug
komplexe Gleichung: andere Meinung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:50 Mi 15.07.2009
Autor: Roadrunner

Hallo itse!


> -> [mm]x_1 = \bruch{1}{2} + \bruch{\wurzel{5}}{2}[/mm]
>  
> -> [mm]x_2 = \bruch{1}{2} - \bruch{\wurzel{5}}{2}[/mm]

[ok] Bis dahin sieht es gut aus.

  

> Lösungen der komplexen Gleichung wären dann:
>  
> [mm]z_1 = \bruch{1+\wurzel{5}}{2} + i[/mm]
>  
> [mm]z_2 = \bruch{1+\wurzel{5}}{2} - i[/mm]

[notok] Wie kommst Du darauf? Der 2. Wert entspricht der Lösung mit $y \ = \ +1$ .


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:10 Mi 15.07.2009
Autor: itse


> Hallo itse!
>  
>
> > -> [mm]x_1 = \bruch{1}{2} + \bruch{\wurzel{5}}{2}[/mm]
>  >  
> > -> [mm]x_2 = \bruch{1}{2} - \bruch{\wurzel{5}}{2}[/mm]
>  
> [ok] Bis dahin sieht es gut aus.
>  
>
> > Lösungen der komplexen Gleichung wären dann:
>  >  
> > [mm]z_1 = \bruch{1+\wurzel{5}}{2} + i[/mm]
>  >  
> > [mm]z_2 = \bruch{1+\wurzel{5}}{2} - i[/mm]
>  
> [notok] Wie kommst Du darauf? Der 2. Wert entspricht der
> Lösung mit [mm]y \ = \ +1[/mm] .

Also wären die beiden Lösungen:

[mm]z_1 = \bruch{1+\wurzel{5}}{2} + i[/mm]
  
[mm]z_2 = \bruch{1+\wurzel{5}}{2}[/mm]

?

Komme nicht ganz damit zu recht, für y habe ich nur eine Lösung und für x zwei.

Gruß
itse


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Bezug
komplexe Gleichung: einfach einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 Mi 15.07.2009
Autor: Roadrunner

Hallo itse!


Einfach einsetzen:

[mm] $$z_1 [/mm] \ = \ [mm] x_1+i*y$$ [/mm]
[mm] $$z_2 [/mm] \ = \ [mm] x_2+i*y$$ [/mm]

Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
komplexe Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:27 Mi 15.07.2009
Autor: itse

Jetzt sehe ich es auch, ein Tippfehler, auf meine Blatt steht es richtig.

Danke,
itse

Bezug
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