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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Lovella |
| Aufgabe | | Bei [mm] z^7=2 [/mm] sollen alle Lösungen bestimmt werden. Als Hinweis steht da "Polarkoordinaten" |
Soll ich jetzt z bestimmen oder x und y?
[mm] z^7=r^7\cdot e^{7i\phi}=2
[/mm]
[mm] r:=\sqrt{x^2+y^2} [/mm] und [mm] \phi:=\operatorname{arg}(z)
[/mm]
Wie komme ich bloß weiter? Ich weiß nicht was mir die Polardarstellung helfen soll.
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Hallo Lovella,
> Bei [mm]z^7=2[/mm] sollen alle Lösungen bestimmt werden. Als
> Hinweis steht da "Polarkoordinaten"
> Soll ich jetzt z bestimmen oder x und y?
>
> [mm]z^7=r^7\cdot e^{7i\phi}=2[/mm]
Schreibe besser [mm]z^7=2=w=|w|\cdot{}e^{\operatorname{arg}(w)\cdot{}i}[/mm]
Dann ist [mm]r=\left|z^7\right|=|w|=...[/mm] und [mm]\varphi=\operatorname{arg}(w)[/mm] kannst du doch ablesen, das [mm]w[/mm] ist doch reell und positiv, liegt also wo und schließt welchen Winkel mit der positiven reellen Achse ein?
Die Lösungen ergeben sich als [mm]z_k=\sqrt[7]{r}\cdot{}e^{\frac{\varphi+2k\pi}{7}\cdot{}i}[/mm] für [mm]k=0,1,\ldots,6[/mm]
>
> [mm]r:=\sqrt{x^2+y^2}[/mm] und [mm]\phi:=\operatorname{arg}(z)[/mm]
>
> Wie komme ich bloß weiter? Ich weiß nicht was mir die
> Polardarstellung helfen soll.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Lovella |
Dankeschön!
$ [mm] z^7=:w\quad :=u+vi\quad [/mm] =2=2+0i [mm] \qquad \Rightarrow [/mm] u=2,\ v=0$
$ [mm] r:=|w|=\wurzel{v^2+w^2} [/mm] = [mm] \wurzel{2^2+0^2}=2 [/mm] $
$ [mm] \phi:=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{u}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ v\geq 0\\ -\arccos\frac{u}{r}&\text{sonst} \end{cases} [/mm] $
$ v=0 [mm] \Rightarrow \phi [/mm] = [mm] \arccos\frac{u}{r} [/mm] = [mm] \arccos\frac{2}{2} [/mm] = [mm] \arccos{1}=0 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow w=2\cdot e^{0}=2 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow \wurzel[7]{w}=z=\wurzel[7]{2} [/mm] $
Mist ich hab was anderes raus.... Was hab ich falsch gemacht? Du hast gesagt ich könne [mm] \phi [/mm] leicht ablesen. Wie das?
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HI!
> Dankeschön!
>
> [mm]z^7=:w\quad :=u+vi\quad =2=2+0i \qquad \Rightarrow u=2,\ v=0[/mm]
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> [mm]r:=|w|=\wurzel{v^2+w^2} = \wurzel{2^2+0^2}=2[/mm]
>
> [mm]\phi:=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{u}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ v\geq 0\\
-\arccos\frac{u}{r}&\text{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]v=0 \Rightarrow \phi = \arccos\frac{u}{r} = \arccos\frac{2}{2} = \arccos{1}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow w=2\cdot e^{0}=2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \wurzel[7]{w}=z=\wurzel[7]{2}[/mm]
>
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> Mist ich hab was anderes raus.... Was hab ich falsch
> gemacht? Du hast gesagt ich könne [mm]\phi[/mm] leicht ablesen. Wie
> das?
So kompliziert musst du das nicht machen.
Es ist:
[mm]z^7=2[/mm]
[mm]\gdw z^7=2 \cdot 1[/mm]
[mm]\gdw z^7=2 \cdot e^{j2\pi}[/mm]
Das [mm] $1=e^{j2 \pi}$ [/mm] ist, kannst du dir auf dem Einheitskreis veranschaulichen.
Um die Lösungen zu erhalten, multipliziert man nun immer mit:
[mm]e^{j 2 \pi k}[/mm] (Was für alle "k" der Zahl 1 entspricht)
Also:
[mm]z^7=2 \cdot e^{j 2 \pi} \cdot e^{j2 \pi k}[/mm]
[mm]\gdw z^7=2 \cdot e^{j \cdot (2 \pi + 2 \pi k)}[/mm]
Jetzt musst du die siebte Wurzel ziehen.
Die 7 Lösungen erhälst du, indem du für k die Zahlen von 0 bis 6 einsetzt. Also:
[mm] z_0=...
[/mm]
.
.
.
[mm] z_6=...
[/mm]
Wäre deine Zahl negativ gewesen, also:
[mm]z^7=-2[/mm]
Dann hättest du das so schreiben können:
[mm]z^7=2 \cdot (-1)[/mm]
Und -1 in die Exponentialform umwandeln.
Was ist denn -1 in der Exponentialform?
Valerie
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> Danke Valerie20!
>
> Puhh die Tricks muss ich ert einmal verdauen 
> [mm]e^{j2 \pi}=1[/mm] hab ich verstanden, wenn das hier stimmt:
>
> 1.) [mm]e^{i\pi}=-1[/mm]
> 2.) [mm]e^{i\bruch{\pi}{2}}=i[/mm] und
> 3.) [mm]e^{i\bruch{3\pi}{2}}=-i[/mm]
>
> bitte sag ja
>
Ja.
Es ist außerdem [mm] $e^{-j \bruch{\pi}{2}}=-j
[/mm]
> edit: was ist eig j? ist [mm]j=i\cdot k[/mm] für [mm]k\in \IN[/mm] ?
>
> Wenn das so ist, dann wäre doch z.B.
> [mm]e^{j\cdot\bruch{\pi}{2}}[/mm] für [mm]j = 2i[/mm] gleich
> [mm]e^{2i\cdot\bruch{\pi}{2}}= e^{i\pi}=-1[/mm] und nicht [mm]=i[/mm]
>
> Da stimmt irgwas nit :-(
Wir haben die imaginäre Einheit immer "j" bezeichnet. Das soll dassselbe sein wie "i".
Valerie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Lovella |
Okay liebe Leute, ich glaube ich habe jetzt verstanden, ich denke mir jetzt noch ein paar Aufgaben aus und schreibe die dann zur Korrektur hier hin, wenn ihr einverstanden seid. Ihr könnt mir auch gern eine Aufgabe stellen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Lovella |
Zitat:
"$ [mm] \gdw z^7=2 \cdot e^{j \cdot (2 \pi + 2 \pi k)} [/mm] $
Jetzt musst du die siebte Wurzel ziehen.
Die 7 Lösungen erhälst du, indem du für k die Zahlen von 0 bis 6 einsetzt."
Warum muss ich die 0 bis 6 einsetzen um die Lösungen zu bekommen? Das verstehe ich leider nicht :-(
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Hallo Lovella,
> Zitat:
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> "[mm] \gdw z^7=2 \cdot e^{j \cdot (2 \pi + 2 \pi k)}[/mm]
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> Jetzt musst du die siebte Wurzel ziehen.
> Die 7 Lösungen erhälst du, indem du für k die Zahlen
> von 0 bis 6 einsetzt."
>
> Warum muss ich die 0 bis 6 einsetzen um die Lösungen zu
> bekommen? Das verstehe ich leider nicht :-(
Nun, weil sich die Lösungen für k=0,1,2,3,4,5,6 aufgrund
der Periodizität der komplexen Exponentialfunktion wiederholen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Lovella |
Danke, auch auf die Gefahr hin, dass ich mich unbeliebt mache... ich verstehe es immer noch nicht ganz.
(Damit du mich nicht für völlig unfähig hältst: Das mit der Periodizität der komplexen Exponentialfunktion ist mir bekannt )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 So 26.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst 1/7 des Winkels. aber es sind ja nicht nur [mm] 2\pi, [/mm] sondern auch [mm] 4\pi [/mm] und [mm] 6\PI und...14\pi [/mm] im Exponenten die 1 ergeben.
die beklagen sich alle wenn du nur 2/pi/7 nimmst denn auch [mm] (e^{10\pi/7})^7=1 [/mm] und auch die [mm] 8\pi [/mm] brüllt laut, wenn sie vergessen wird!
wenn du über die [mm] 14\pi [/mm] raus bist wiederholen sich die Werte, also hast du 7 echt verschiedene Werte für die 7 te Wurzel aus 1.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Mo 27.02.2012 | | Autor: | Lovella |
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") coole Antwort
also ich habs jetzt begriffen (wurde auch Zeit) und hab mir ein paar Aufgaben ausgedacht um alles abzudecken:
1.) $ [mm] z^{13}\ [/mm] =\ [mm] -3\quad =\quad 3e^{i\pi}\quad =\quad 3e^{i\pi}\cdot e^{2k\pi i}\ [/mm] $ (k=0,1,2,...,12) $ [mm] \quad =\quad 3e^{i(\pi +2k\pi )} \iff [/mm] z\ =\ [mm] \wurzel[13]{3}e^{i\bruch{\pi +2k\pi }{13}} [/mm] $
2.) $ [mm] z^{4}\ [/mm] =\ [mm] -2i\quad =\quad 2e^{i\frac{3\pi}{2}}\quad =\quad 2e^{i\frac{3\pi}{2}}\cdot e^{2k\pi i}\ [/mm] $ (k=0,1,2,3) $ [mm] \quad =\quad 2e^{i(\frac{3\pi}{2} +2k\pi )} \iff [/mm] z\ =\ [mm] \wurzel[4]{2}e^{i\bruch{\frac{3\pi}{2} +2k\pi}{4}} [/mm] $
3.) $ [mm] z^{5}\ [/mm] =\ 3-4i\ =: w :=u+vi [mm] ,\qquad r=\wurzel{3^2+4^2} [/mm] =5 [mm] ,\qquad \varphi [/mm] = [mm] -\arccos\frac{u}{r} [/mm] = [mm] -\arccos\frac{3}{5}\quad \Rightarrow [/mm] w = [mm] 5e^{-i\arccos\frac{3}{5}}, \qquad \Rightarrow [/mm] z= [mm] \wurzel[5]{5}e^{i\bruch{2k\pi-\arccos\frac{3}{5}}{5}} [/mm] $ (k=1,...4)
Könnte einer von euch gucken ob das alles haar genau stimmt? Da wäre echt super von euch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Mo 27.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Rechnungen sind richtig, es wird aber öfter verlangt, dass du das Ergebnis wieder in der Form a+ib schreibst.
gruss leduart
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