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komplexe Gleichungen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 So 07.01.2018
Autor: khalid

Aufgabe
[mm] a|z|^2+\overline{b}z+b\overline{z}+c=0 [/mm]
a und [mm] c\in\IR [/mm]
[mm] b\in\IC [/mm]
Ermitteln Sie Z

Hallo,

Kleine Hinweise
Wie kann ich z in Abhängigkeit von a,c und b finden ?

Danke :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Beste Grüße
Khaled

        
Bezug
komplexe Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 So 07.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> [mm]a|z|^2+\overline{b}z+b\overline{z}+c=0[/mm]
> a und [mm]c\in\IR[/mm]
> [mm]b\in\IC[/mm]
> Ermitteln Sie Z
> Hallo,

>

> Kleine Hinweise
> Wie kann ich z in Abhängigkeit von a,c und b finden ?

>

> Danke :)

da es sich um eine komplexe Gleichung handelt, müssen auf der linken Seite sowohl Real- als auch Imaginärteil verschwinden.

[mm] a|z|^2 [/mm] und c sind reell, die beiden Summanden

[mm] \overline{b}*z+b*\overline{z} [/mm]

jedoch komplex. Setze hier einmal (beispielsweise)

[mm] b=b_r+ib_i [/mm]
z=x+iy

multipliziere alles aus und vereinfache.

Dann kann man sowohl für den Realteil als auch für den Imaginärteil jeweils eine Gleichung aufstellen, indem man beide wie gesagt gleich Null setzt.

Dabei wird sich (zur Lösungskontrolle) herausstellen, dass auch b eine reelle Zahl sein muss.


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
komplexe Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 So 07.01.2018
Autor: HJKweseleit


> [mm]a|z|^2+\overline{b}z+b\overline{z}+c=0[/mm]
>  a und [mm]c\in\IR[/mm]
>  [mm]b\in\IC[/mm]
>  Ermitteln Sie Z

Setze z=x+iy und b=u+iv. Dann gilt:

[mm] |z|^2 [/mm] = [mm] x^2+y^2 [/mm]
[mm] \overline{b}z=ux+vy+i(uy-vx) [/mm]
[mm] b\overline{z}=ux+vy+i(vx-uy) [/mm]
und damit
[mm]a|z|^2+\overline{b}z+b\overline{z}+c[/mm][mm] =ax^2+ay^2+2ux+2vy+c=0 [/mm]

1. Fall: a=0
Dann ergibt sich daraus die Gleichung einer Geraden in der komplexen Ebene:
[mm] y=\bruch{u}{v}x-\bruch{c}{2v}, [/mm] falls v [mm] \ne [/mm] 0, sonst
[mm] x=-\bruch{c}{2u}, [/mm] falls v=0 und u [mm] \ne [/mm] 0,
keine Lösung, falls b=0 und c [mm] \ne [/mm] 0
z beliebig, falls b und c =0

2. Fall: a [mm] \ne [/mm] 0

Dann dividieren wir durch a und erhalten:

[mm] x^2+y^2+2\bruch{u}{a}x+2\bruch{v}{a}y+\bruch{c}{a}=0 [/mm]

[mm] (x+\bruch{u}{a})^2+(y+\bruch{v}{a})^2=(\bruch{u}{a})^2+(\bruch{v}{a})^2-\bruch{c}{a} [/mm]

und damit einen Kreis in der komplexen Ebene, falls der Wert rechts [mm] \ge [/mm] 0 ist (bei 0 ist es nur ein Punkt), sonst keine Lösung.

Bezug
                
Bezug
komplexe Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:49 So 07.01.2018
Autor: HJKweseleit

Zur Zeit spielt der Formelgenerator auf meinem Rechner verrückt, so dass ich nicht erkennen kann, ob ich alles fehlerfrei geschrieben habe. Hoffentlich kannst du alles erkennen.

Bezug
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