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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 So 11.05.2008 | | Autor: | nimet |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der Glaichung
[mm] z^{3}-6z^{2}+12z-7=0 [/mm]
mit Hilfe der Sunbstitution [mm] \delta:=z-a [/mm] mit einem geschickt gewählten a. |
Hallo,
also weiß zwar, dass gilt z=x+iy und 0=0+i0 aber weiß nicht wie ich es für [mm] z^{3} [/mm] machen soll. Würde hier zwar die Polynomdivision anwenden wollen, aber das würde gegen die substitution verstoßen. ich weiß echt nicht weiter. würde mich über ne antwort freuen.
LG
nimet
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Hallo nimet,
eine NST z=1 lässt sich schnell erraten, das lässt mich im Sinne der Aufgabe die Substitution [mm] $\delta:=z-1$ [/mm] probieren.
Setze das mal ein in die Gleichung, dann wirst du nach dem Zusammenfassen [mm] $\delta$ [/mm] ausklammern können, da ja mit z=1 aufgrund der Substitution dann [mm] $\delta=0$ [/mm] eine NST der substituierten Gleichung sein muss.
Dann bleibt dir nur eine quadratische Gleichung in [mm] $\delta$ [/mm] zu verarzten...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 So 11.05.2008 | | Autor: | nimet |
danke schachuzipus
also habe dann für die substitution stehen: [mm] \delta+1=z. [/mm] wenn ich dies in die Gleichung einsetze folgt: [mm] (\delta+1)^3-6(\delta+1)^2+12(\delta+1)-7=0
[/mm]
weiß garnicht ob ich da richtig bin!bin in substituieren die totale niete!:(
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Hallo nochmal,
> danke schachuzipus
> also habe dann für die substitution stehen: [mm]\delta+1=z.[/mm]
> wenn ich dies in die Gleichung einsetze folgt:
> [mm](\delta+1)^3-6(\delta+1)^2+12(\delta+1)-7=0[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> weiß garnicht ob ich da richtig bin!bin in substituieren
> die totale niete!:( ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nana, ist doch ok, nun alles verwurschtlen, dann siehst du's schon...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 So 11.05.2008 | | Autor: | nimet |
ok habe es verwuschelt.
komme auf [mm] \delta(\delta^2+3\delta+3)=0
[/mm]
also [mm] \delta=0 [/mm] oder [mm] \delta^2+3\delta+3=0
[/mm]
wende die pq-Formel an und erhalte:
[mm] -\bruch{3}{2}\pm\bruch{\wurzel{-3}}{2}=-\bruch{3}{2}\pm\bruch{\wurzel{3}}{2}i
[/mm]
stimmt das bis jetzt?
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Hallo nochmal,
> ok habe es verwuschelt.
> komme auf [mm]\delta(\delta^2\red{-}3\delta+3)=0[/mm]
Da habe ich ein [mm] \red{Minus} [/mm] heraus...
> also [mm]\delta=0[/mm] oder [mm]\delta^2\red{-}3\delta+3=0[/mm]
>
> wende die pq-Formel an und erhalte:
>
> [mm]\red{+}\bruch{3}{2}\pm\bruch{\wurzel{-3}}{2}=\red{+}\bruch{3}{2}\pm\bruch{\wurzel{3}}{2}i[/mm]
>
> stimmt das bis jetzt?
Bis aufs Vorzeichen bei dem [mm] $\frac{3}{2}$ [/mm] sieht das genauso aus wie mein Ergebnis 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 So 11.05.2008 | | Autor: | nimet |
ja hab auch ein minus bei mir stehen!:)
und jetzt muss man doch fallunterscheidungen machen und schauen bei welchen werten von cos und sin sie doch liegen oder???also ich weiß zum beispiel, dass [mm] sin(\bruch{\pi}{3})=\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] ist
bloß muss ich wieder rücksubstituieren???
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Hi nimet,
> ja hab auch ein minus bei mir stehen!:)
>
> und jetzt muss man doch fallunterscheidungen machen und
> schauen bei welchen werten von cos und sin sie doch liegen
> oder???also ich weiß zum beispiel, dass
> [mm]sin(\bruch{\pi}{3})=\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] ist
> bloß muss ich wieder rücksubstituieren???
Ich würde nur resubstituieren, du hast ja die Lösungen in der Form [mm] $\delta [/mm] \ (=z-1) \ =a+ib$ vorliegen, das würde ich nicht in die trigonometrische Form umformen, es sei denn, es ist irgendwie ausdrücklich verlangt..
Also einfach die Lösungen in z in Normalform angeben. Das sollte m.E. reichen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 11.05.2008 | | Autor: | nimet |
aslo habe bei mir 2. fälle vorliegen
1.fall: [mm] \delta=\bruch{3}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
2.fall: [mm] \delta=\bruch{3}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
die muss ich doch jetzt auf die From [mm] z=p(cos\nu+isin\nu) [/mm] bringen oder???
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Hi nochmal,
> aslo habe bei mir 2. fälle vorliegen
> 1.fall: [mm]\delta=\bruch{3}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}\red{i}[/mm]
> 2.fall: [mm]\delta=\bruch{3}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}\red{i}[/mm]
und noch [mm] $\delta=0$
[/mm]
> die muss ich doch jetzt auf die From [mm]z=p(cos\nu+isin\nu)[/mm]
> bringen oder???
Dass du das musst, geht nicht aus der Aufgabenstellung hervor.
Mit [mm] $\delta=z-1$ [/mm] ist doch für den ersten Fall:
[mm] $\delta=z-1=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\Rightarrow z=\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
[/mm]
Damit hast du deine gesuchte Lösung in der Variable z - noch die beiden anderen Fälle und feddich
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 So 11.05.2008 | | Autor: | nimet |
danke schachuzipus, hat mir echt super weiter geholfen!habe es endlich mal verstanden!super lieb und nett von dir:)
LG
nimet
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