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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | | Berechnen Sie alle Lösungen der komplexen Gleichung [mm] z^{4}-2iz^{2}+8=0 [/mm] |
Hallo,
hier habe ich [mm] w=z^{2} [/mm] gesetzt und in die Formel [mm] w_{1,2}=-\bruch{-2i}{2}\pm\wurzel{\bruch{(-2i)^{2}}{4}-8}
[/mm]
eingesetzt was ergibt:
[mm] w_{1}=4i [/mm] bzw [mm] w_{2}=-2i [/mm] dann noch rücksubstituieren oder wie das heißt, [mm] z_{1}=2\wurzel{i}, z_{2}=-2\wurzel{i}, z_{3}=-\wurzel{-2i}, z_{4}=+\wurzel{-2i}
[/mm]
da das Ergebnis sehr falsch ausschaut, wollte ich mal fragen ob da nen Fehler ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
gruß andi
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Hallo Infoandi,
> Berechnen Sie alle Lösungen der komplexen Gleichung
> [mm]z^{4}-2iz^{2}+8=0[/mm]
> Hallo,
> hier habe ich [mm]w=z^{2}[/mm] gesetzt und in die Formel
> [mm]w_{1,2}=-\bruch{-2i}{2}\pm\wurzel{\bruch{(-2i)^{2}}{4}-8}[/mm]
> eingesetzt was ergibt:
> [mm]w_{1}=4i[/mm] bzw [mm]w_{2}=-2i[/mm] dann noch rücksubstituieren oder
> wie das heißt, [mm]z_{1}=2\wurzel{i}, z_{2}=-2\wurzel{i}, z_{3}=-\wurzel{-2i}, z_{4}=+\wurzel{-2i}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> da das Ergebnis sehr falsch ausschaut, wollte ich mal
> fragen ob da nen Fehler ist.
>
Sehr falsch wahrscheinlich deshalb,
weil die Lösungen nicht in der Form a+b*i sind.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> gruß andi
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
also:
[mm] z_{1}=0+2\wurzel{i}, z_{2}=0-2\wurzel{i}, z_{3}=0-\wurzel{-2i}, z_{4}=0+\wurzel{-2i}
[/mm]
so ?
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Hallo Infoandi,
> also:
> [mm]z_{1}=0+2\wurzel{i}, z_{2}=0-2\wurzel{i}, z_{3}=0-\wurzel{-2i}, z_{4}=0+\wurzel{-2i}[/mm]
>
Diese Lösungen sind nicht in der Form [mm]a+bi, \ a,b \in \IR[/mm]
Verwandle dazu den Ausdruck unter der Wurzel in Exponentialform.
> so ?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
[mm] z_{1}=0+2i^{\bruch{1}{2}}, z_{2}=0-2i^{\bruch{1}{2}}, z_{3}=0-(-2i)^{\bruch{1}{2}}, z_{4}=0+(-2i)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
so vielleicht ?
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Hallo, zeige ich dir mal
[mm] \wurzel{i}=(e^{i*\bruch{\pi}{2}})^{\bruch{1}{2}}=e^{i*\bruch{\pi}{4}}=cos(\bruch{\pi}{4})+i*sin(\bruch{\pi}{4})=\bruch{1}{\wurzel{2}}+i*\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
ok nu muss es aber stimmen:
[mm] z_{1}=\wurzel{2}+\wurzel{2}i
[/mm]
[mm] z_{2}=-\wurzel{2}-\wurzel{2}i
[/mm]
[mm] z_{3}=1-i
[/mm]
[mm] z_{4}=-1+i
[/mm]
so und nicht anders oder ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
gut, dann bedank ich mich nochmal bei euch beiden und schönen abend noch.
gruß andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, zeige ich dir mal
> [mm]\wurzel{i}=(e^{i*\bruch{\pi}{2}})^{\bruch{1}{2}}=e^{i*\bruch{\pi}{4}}=cos(\bruch{\pi}{4})+i*sin(\bruch{\pi}{4})=\bruch{1}{\wurzel{2}}+i*\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> Steffi
das kann so nicht vollständig sein - bekanntermaßen fasst man [mm] $\sqrt{z}$ [/mm] für $z [mm] \in \IC$ [/mm] als die Menge [mm] $M_{\sqrt{z}}:=\{w \in \IC: w^2=z\}$ [/mm] auf. (Oder Du gibst oben sowas "wie einen Repräsentanten" dieser Menge an - dann muss man aber wissen, wie alle anderen Elemente aus [mm] $M_{\sqrt{z}}$ [/mm] mit dessen Hilfe berechnet werden können - was auch nicht allzuschwer ist.)
Daher
$$z [mm] \in M_{\sqrt{i}}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw z^2=i\,.$$
[/mm]
Da das [mm] $|i|=1=|z^2|=|z|^2$ [/mm] und damit [mm] $|z|=1\,$ [/mm] liefert, ist
[mm] $$z^2=i$$ [/mm]
[mm] $$\gdw \exp(i 2\phi)=\exp(i \pi/2)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \exp(i(2\phi-\pi/2))=1\,,$$
[/mm]
wobei oben stets o.E. $0 [mm] \le \phi [/mm] < [mm] 2\pi$ [/mm] angenommen werden darf. Damit bekommt man auch [mm] $\phi=\pi/4$ [/mm] oder [mm] $\phi=5/4\pi$ [/mm] als Lösung, also
[mm] $$z=\exp(i*\pi/4) \text{ oder }z=\exp(i*5/4\;\pi)$$
[/mm]
[mm] $$M_{\sqrt{i}}=\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}+i*\frac{1}{\sqrt{2}},\;-\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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