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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 So 26.04.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die komplexen Lösungen der Gleichung
[mm] $\displaystyle z^4+(2-2\rm {i})z^2 [/mm] - [mm] 4\rm [/mm] {i} [mm] =0\,. [/mm] $ |
Hallo Zusammen,
als Erstes habe ich substituiert c = z², ergibt dann:
[mm] $\displaystyle z^4+(2-2\rm {i})z^2 [/mm] - [mm] 4\rm [/mm] {i} [mm] =0\, [/mm] $ |Substituion: c = z²
[mm] $\displaystyle c^2+(2-2\rm [/mm] {i})c - [mm] 4\rm [/mm] {i} [mm] =0\, [/mm] $
[mm] c_{12} [/mm] = [mm] \bruch{-(2-2i) \pm \wurzel{(2-2i)² - 4 \cdot{} 1 \cdot{} (-4i)}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{-2+2i \pm \wurzel{4-8i+4i² +16i)}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{-2+2i \pm \wurzel{8i}}{2} [/mm] = -1 + i [mm] \pm \wurzel{2i}
[/mm]
Wie kann ich denn nun, das i Ausklammern, damit ich den Imginärteil erhalte?
Gruß
itse
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Hi, itse,
mit dem Ansatz [mm] \wurzel{2i} [/mm] = a + bi kannst Du a und b und damit die gewünschte Darstellung erhalten.
(Zur Kontrolle: Ich krieg' raus: 1 + i)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 26.04.2009 | | Autor: | itse |
> Hi, itse,
>
> mit dem Ansatz [mm]\wurzel{2i}[/mm] = a + bi kannst Du a und b und
> damit die gewünschte Darstellung erhalten.
>
> (Zur Kontrolle: Ich krieg' raus: 1 + i)
Wenn ich dies so berechne erhalte ich:
2i = a²-b²+2abi
-> a²-b² = 0
-> 2ab = 2 -> a = [mm] \bruch{1}{b} [/mm] in a²-b² = 0 -> [mm] (\bruch{1}{b²}) [/mm] - b² = 0; [mm] \bruch{1-b^4}{b²} [/mm] = 0; 1 - [mm] b^4 [/mm] = 0 -> [mm] b^4 [/mm] = 1 -> b = 1
a = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1
[mm] 1+1\cdot{} [/mm] i = 1+i
Wenn ich es aber so auffasse:
z² = 2i, erhalte ich als Lösungen 1+i und -1-i
Nun gut, ich setze für [mm] \wurzel{2i} [/mm] = 1+i ein:
[mm] c_{12} [/mm] = -1 + i [mm] \pm [/mm] (1+i) -> [mm] c_1 [/mm] = -1 + i + 1 + i = 2i und [mm] c_2 [/mm] = -1 + i - 1 - i = -2
Rücksubstitution:
z² = 2i = [mm] \pm \wurzel{2i} [/mm] = [mm] \pm [/mm] (1+i), [mm] z_1 [/mm] = 1+i und [mm] z_2 [/mm] = -1-i
z² = -2 = [mm] \pm \wurzel{2}i [/mm] , [mm] z_3 [/mm] = [mm] \wurzel{2}i [/mm] und [mm] z_4 [/mm] = [mm] -\wurzel{2}i
[/mm]
Würde dies dann so stimmen?
Vielen Dank,
itse
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Hallo itse,
> > Hi, itse,
> >
> > mit dem Ansatz [mm]\wurzel{2i}[/mm] = a + bi kannst Du a und b und
> > damit die gewünschte Darstellung erhalten.
> >
> > (Zur Kontrolle: Ich krieg' raus: 1 + i)
>
> Wenn ich dies so berechne erhalte ich:
>
> 2i = a²-b²+2abi
>
> -> a²-b² = 0
> -> 2ab = 2 -> a = [mm]\bruch{1}{b}[/mm] in a²-b² = 0 ->
> [mm](\bruch{1}{b²})[/mm] - b² = 0; [mm]\bruch{1-b^4}{b²}[/mm] = 0; 1 - [mm]b^4[/mm] =
> 0 -> [mm]b^4[/mm] = 1 -> b = 1
Hier muss es heißen:
[mm]b^{4}=1 \Rightarrow b=1 \vee b=-1 [/mm]
>
> a = [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1
>
> [mm]1+1\cdot{}[/mm] i = 1+i
>
>
> Wenn ich es aber so auffasse:
>
> z² = 2i, erhalte ich als Lösungen 1+i und -1-i
>
>
> Nun gut, ich setze für [mm]\wurzel{2i}[/mm] = 1+i ein:
>
> [mm]c_{12}[/mm] = -1 + i [mm]\pm[/mm] (1+i) -> [mm]c_1[/mm] = -1 + i + 1 + i = 2i und
> [mm]c_2[/mm] = -1 + i - 1 - i = -2
>
> Rücksubstitution:
>
> z² = 2i = [mm]\pm \wurzel{2i}[/mm] = [mm]\pm[/mm] (1+i), [mm]z_1[/mm] = 1+i und [mm]z_2[/mm] =
> -1-i
> z² = -2 = [mm]\pm \wurzel{2}i[/mm] , [mm]z_3[/mm] = [mm]\wurzel{2}i[/mm] und [mm]z_4[/mm] =
> [mm]-\wurzel{2}i[/mm]
>
> Würde dies dann so stimmen?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielen Dank,
> itse
Gruß
MathePower
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