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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Fr 29.06.2007 | | Autor: | macio |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle koomplexen Nullstellen der Gleichung
[mm] z^4 [/mm] + [mm] \wurzel{3}z^2 [/mm] +1 = 0 |
Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich weis dass ich das mit Polynomdivion lösen kann aber ich komme nicht drauf durch was ich [mm] z^4 [/mm] + [mm] \wurzel{3}z^2 [/mm] + 1 = 0 Teilen soll?
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> Bestimmen Sie alle koomplexen Nullstellen der Gleichung
> [mm]z^4[/mm] + [mm]\wurzel{3}z^2[/mm] +1 = 0
> Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich weis
> dass ich das mit Polynomdivion lösen kann aber ich komme
> nicht drauf durch was ich [mm]z^4[/mm] + [mm]\wurzel{3}z^2[/mm] + 1 = 0
> Teilen soll?
Diese Gleichung ist bi-quadratisch. Substituiere also erst einmal [mm]u := z^2[/mm] und löse die quadratische Gleichung [mm]u^2+\sqrt{3}u+1=0[/mm]. Dies ergibt bis zu zwei Lösungen [mm]u_{1,2}[/mm]. Dann gehst Du zurück und löst die beiden Gleichungen [mm]z^2=u_1[/mm] und [mm]z^2=u_2[/mm]. Insgesamt kannst Du somit bis zu vier verschiedene Lösungen erhalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Di 03.07.2007 | | Autor: | macio |
Also :
[mm] u^2+\wurzel{3}u+1=0
[/mm]
[mm] x_1_,_2 [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} \pm \wurzel{\bruch{3}{4} -1}
[/mm]
=0,866 [mm] \pm \wurzel{i^2*0,25}
[/mm]
=0,866 [mm] \pm \bruch{1}{2}i
[/mm]
Oder????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Di 03.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo macio!
Ein kleiner (aber sehr beliebter  ) Vorzeichenfehler hat sich eingeschlichen. Es muss heißen:
[mm] $x_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} \pm \wurzel{\bruch{3}{4} -1} [/mm] \ = \ [mm] \red{-}\bruch{1}{2}*\wurzel{3}\pm\bruch{1}{2}*i$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Di 03.07.2007 | | Autor: | macio |
ok, danke! Und sonst ist die Aufgabe gelöst oder fehlt da noch etwas?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Di 03.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo macio!
Die Aufgabe ist noch nicht fertig ... Du musst ja die Lösungen für [mm] $\red{z}$ [/mm] finden und nicht für [mm] $\red{u}$ [/mm] ...
Von daher musst Du nun noch [mm] $z_{1,2,3,4} [/mm] \ = \ [mm] \pm\wurzel{u_{1,2}} [/mm] \ = \ [mm] \pm\wurzel{\bruch{-\wurzel{3}\pm i}{2}} [/mm] \ = \ ...$ bestimmen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Di 03.07.2007 | | Autor: | macio |
Oha! Ich habe ehrlich keine Ahnung wie man das weiter machen sollte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Di 03.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch jetzt [mm] z_1^2=u1 [/mm] und [mm] z_2^2=u_2
[/mm]
also musst du noch die Wurzeln aus [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] ziehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Do 05.07.2007 | | Autor: | macio |
[mm] \pm\wurzel{\bruch{-\wurzel{3}\pm i}{2}} [/mm]
Man kann doch aus einer negativen Zahl kein Wurzel ziehen!
Und, wenn.. dann haben wir nähmlich [mm] \wurzel{i} [/mm] ....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Do 05.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]\pm\wurzel{\bruch{-\wurzel{3}\pm i}{2}}[/mm]
> Man kann doch aus einer negativen Zahl kein Wurzel ziehen!
Wozu wurden wohl die komplexen Zahlen eingeführt? was ist [mm] \wurzel{-1}?
[/mm]
quadriere mal [mm] 1/\wurzel{2}*(1+i)! [/mm] und [mm] -1/\wurzel{2}*(1+i)
[/mm]
Quadrier danach irgendeine von dir ausgesuchte komplexe Zahl!
kannst du aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen?
Zeichne ausserdem die Zahl, und ihr Quadrat als Pfeil von = aus in die komplexe Ebene! fällt dir was auf? (achte auf die Winkel zur x-Achse, und auf die Längen!
irgendwie hast du das rechnen mit komplexen Zahlen noch nicht kapiert! Deshalb solltest du deine Vorstellung dringend durch die Darstellung der Zahlen verbessern. also 2 komplexe Zahlen einzeichnen und ihr Produkt, wenn du kannst auch ihren Quotienten (Summe und Differenz sind hoffentlich schon klar, sonst das auch noch.)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Do 05.07.2007 | | Autor: | macio |
Also:
[mm] \pm \wurzel{\bruch{-\wurzel{3} * \wurzel{i^2*1}}{2}}
[/mm]
= [mm] \pm \bruch{-3i} {\wurzel{2}} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Do 05.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was hat das mit meiner Antwort zu tun? hast du irgendwas mit der angefangen?
> Also:
>
> [mm]\pm \wurzel{\bruch{-\wurzel{3} * \wurzel{i^2*1}}{2}}[/mm]
wie kommst du von
[mm]\pm \wurzel{\bruch{-\wurzel{3} +i}{2}}[/mm] aus dem post vorher auf den Ausdruck oben, versteh ich Bahnhof.
>
> = [mm]\pm \bruch{-3i} {\wurzel{2}}[/mm]
und wie dann darauf? das wenigstens kannst du doch quadreiren, dann hast du -9/2 und das hat mit dem darüber auch nix zu tun!
Und auf so posts ohne jede... werd wenigstens ich nicht mehr antworten.
Gruss leduart
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