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Hallo!
Ich habe ziemliche Probleme mit folgender Aufgabe, da mir bereits das Verständnis der Schreibweise Schwierigkeiten bereitet.
Es sei E der [mm]\IC[/mm]-Vektorraum
E = {P(X,Y) / P(X,Y) = [mm] \summe_{i,j\le2} a_{i,j}X^iY^j [/mm] mit [mm] a_{i,j} \in\IC [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] i,j [mm] \le [/mm] 2}
der komplexwertigen Polynome in zwei Variablen vom Grad [mm] \le [/mm] 2.
a) Was ist die Dimension von E?
b) Zeigen Sie, dass die Abbildung u: E [mm] \rightarrow [/mm] E, P [mm] \rightarrow \bruch{\partial}{\partial X} \bruch{\partial P}{\partial Y} [/mm] im Endomorphismenring End(E) liegt und bestimmen Sie die Dimension des Kerns und des Bildes.
Hierbei ist mit [mm] \bruch{\partial}{\partial X} [/mm] (resp. [mm] \bruch{\partial}{\partial Y} [/mm] ) die Ableitung nach X (resp. Y) gemeint:
[mm] \bruch{\partial}{\partial X} (\summe_{i,j=0}^{n} a_{i,j}X^iY^j) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=0}^{n} ia_i{i,j}X^{i-1}Y^j
[/mm]
Zu Teilaufgabe a): Die Dimension von E ist ja gerade die Anzahl der Elemente von E. Ich habe mir jetzt überlegt, dass man E ja als Matrix mit komplexen Koeffizienten auffassen könnte. Ich habe allerdings keine Ahnung, wie ich diese Idee zu Papier bringen könnte.
Es wäre toll, wenn jemand ein bisschen Licht in dieses Formeldickicht bringen könnte. Ich glaube mein Hauptproblem beim Verständnis ist die Schreibweise. Vielleicht kann mir das ja jemand "anschaulicher" erklären. Darüber wäre ich sehr dankbar!!!
Danke im
Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
dein Problem ist nicht die Schreibweise, sondern dein Verständnis eines Vektorraums.
a) die Dimension ist nicht die Anzahl der Elemente darin-
b) aus einem Vektorraum wird keine Matrix.
Daher: Unterlagen nochmal sehr genau durchgucken.
greez@u
TS
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Ok, stimmt. Die Dimension ist die Anzahl der Elemente der Basis des Vektorraums. Das bedeutet also, ich muss die Basis von E bestimmen. Also muss ich ein linear unabhängiges System von Vektoren finden, das E aufspannt. Mein Problem sind aber nach wie vor die zwei Variablen. Kann mir da vielleicht jemand einen Denkanstoß geben?
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Hallo,
ich möchte dir nichts vorrechnen, sondern wie verlangt, Denkanstösse geben:
nimm dir mal 'nen Vektor aus dem Raum. Irgeneinen. Und gucke dir an, ob du alle anderen daraus herstellen kannst. Solltest du das können, hast du 'ne basis; wenn nicht, nimm einen weiteren dazu und verfahre wieder so...
irgendwann weißt du, womit du es zu tun hast. dazu solltest du dich aber mindestens 'ne stunde hinsetzen und dir das angucken, denn: erklären kann man das, aber das begreifen, das muss man selbst.
greez,
TS-
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