komplexe Reihe konvergent? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:51 So 14.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Ist die folgende Reihe (absolut) konvergent?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \frac{1}{2^n} [/mm] ) + [mm] \frac{i}{n} [/mm] |
Hallo liebe Gemeinde!
Also normalerweise würde ich jetzt Majoranten, Minorantenkriterium oder Quotiententest anwenden.
Aber es handelt sich um eine komplexe Funktion und das verwirrt mich.
Wie soll ich mit dem i handhaben?
(Kenne mich mit komplexen Zahlen noch eher schlecht aus)
Danke für jeden Tipp!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:22 So 14.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Manuel,
> Wie soll ich mit dem i handhaben?
>
Nimm mal an, die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty (1/2^n [/mm] + i/n)$ konvergiert. Aus der Konvergenz von [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} [/mm] 1/ [mm] {2^n}$ [/mm] kannst Du dann die Konvergenz von [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} [/mm] i/n$ schließen. Und jetzt beachte $i$ ist eine Konstante ungleich Null und Du kommst zu einem Widerspruch.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:25 So 14.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo elmanuel,
Wolfgangs Tipp hängt übrigens überhaupt nicht davon ab, ob i nun komplex oder reell ist.
Bist Du übrigens sicher, dass i hier die imaginäre Einheit sein soll?
Grüße
reverend
PS: Die harmonische Reihe kennst Du doch, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 So 14.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
DANKE wolfgang & reverend!
also ich würde das jetzt so machen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+\frac{i}{n} [/mm] =
= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+ \summe_{n=1}^{\infty}\frac{i}{n}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+ [/mm] i* [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
[/mm]
nachdem [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} [/mm] divergent ist (harmonische reihe), muss also auch
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+ [/mm] i* [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
[/mm]
und somit [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+\frac{i}{n} [/mm] divergent sein
Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 So 14.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Manuel,
> also ich würde das jetzt so machen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+\frac{i}{n}[/mm] =
Setze bitte Klammern, also [mm] $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac 1 {2^n}+\frac i n\right)\;.$
[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+ \summe_{n=1}^{\infty}\frac{i}{n}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+[/mm] i*
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm]
>
> nachdem [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm] divergent ist
> (harmonische reihe), muss also auch
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+[/mm] i*
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm]
>
> und somit [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+\frac{i}{n}[/mm]
> divergent sein
>
> Korrekt?
Na ja, so halb. Wesentlich für den Widerspruchsbeweis ist die Konvergenz von [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac [/mm] 1 [mm] {2^n}\;.$ [/mm] Aber das ist Dir sicher klar, oder?
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 So 14.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo elmanuel,
> > (harmonische reihe), muss also auch
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+[/mm] i*
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm]
> >
> > und somit [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+\frac{i}{n}[/mm]
> > divergent sein
> >
> > Korrekt?
>
> Na ja, so halb. Wesentlich für den Widerspruchsbeweis ist
> die Konvergenz von [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {2^n}\;.[/mm] Aber
> das ist Dir sicher klar, oder?
Summe oder Differenz zweier konvergenter Folgen sind ebenfalls konvergent. Das ist leicht einzusehen.
Summe oder Differenz einer konvergenten und einer divergenten Folge sind divergent. Das müsste auch noch nachvollziehbar sein, oder?
Aber die Summe oder Differenz zweier divergenter Folgen kann alles Mögliche sein. Da ist keine Aussage vorab möglich, je nachdem in welcher Weise sie divergent sind.
Mal nür für die Summe: gehen beide gegen [mm] +\infty [/mm] oder beide gegen [mm] -\infty, [/mm] dann ist klar, dass die Summe das auch tut und somit divergent ist. Entsprechend bei der Differenz.
Wenn da aber sozusagen steht [mm] +\infty-\infty, [/mm] dann versagt jede Vorausschau.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] ist divergent (harmonische Reihe).
Auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n+1} [/mm] ist dann divergent. Klar?
Aber [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}\right) [/mm] ist trotzdem konvergent.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Mo 15.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
danke , so ist es natürlich besse begründet!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Summe oder Differenz zweier konvergenter Folgen sind
> ebenfalls konvergent. Das ist leicht einzusehen.
> Summe oder Differenz einer konvergenten und einer
> divergenten Folge sind divergent. Das müsste auch noch
> nachvollziehbar sein, oder?
das letztstehende folgt unmittelbar aus dem vorher gesagten:
Gelte [mm] $a_n \to a\,,$ $(b_n)_n$ [/mm] sei divergent und man nimmt an, dass
[mm] $a_n+b_n \to g\,.$
[/mm]
Dann folgt aber wegen
[mm] $$b_n=(a_n+b_n)-a_n \to [/mm] g-a$$
der Widerspruch, dass [mm] $b_n \to g-a\,.$
[/mm]
Dabei betrachte ich hier nur Folgen in [mm] $\IK$ ($\IK \in \{\IR,\IC\}$) [/mm] mit auch
Grenzwert in [mm] $\IK\,.$ [/mm] (Sofern die entspr. Folge konvergiert oder als
konvergent angenommen wird!) Solche Spezialfälle, dass [mm] $a_n \to \infty$ [/mm]
(also dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] unbestimmt gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebe) kann man sich
mal angucken, wenn das für eine entsprechende Aufgabe interessant ist.
(Schwer ist das ja auch nicht!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo elmanuel,
> Ist die folgende Reihe (absolut) konvergent?
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] ( [mm]\frac{1}{2^n}[/mm] ) + [mm]\frac{i}{n}[/mm]
>
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Also normalerweise würde ich jetzt Majoranten,
> Minorantenkriterium oder Quotiententest anwenden.
>
> Aber es handelt sich um eine komplexe Funktion und das
> verwirrt mich.
Du hast ja nun eine Lösung für die Aufgabe bekommen. Prinzipiell macht
man dann das gleiche, aber es gilt:
Ist [mm] $(z_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IC\,,$ [/mm] so konvergiert [mm] $(z_n)_n$ [/mm]
genau dann gegen ein $z [mm] \in \IC\,,$ [/mm] wenn mit [mm] $u_n:=\text{Re}(z_n)$ [/mm] und
[mm] $v_n:=\text{Im}(z_n)$ [/mm] ($n [mm] \in \IN_0$) [/mm] die beiden reellen Folgen
[mm] $(u_n)_n$ [/mm] und [mm] $(v_n)_n$ [/mm] beide in [mm] $\IR$ [/mm] konvergieren - also wenn es ein
Paar $(u,v) [mm] \in \IR^2$ [/mm] so gibt, dass [mm] $u_n \to [/mm] u$ und [mm] $v_n \to v\,.$ [/mm] (Wobei
im Falle der Konvergenz dann [mm] $u=\text{Re}(z)$ [/mm] und [mm] $v=\text{Im}(z)$ [/mm] gilt.)
Wendest Du das nun an, so machst Du hier allerdings genau das gleiche
wie bei Wolfgang und reverend - wenngleich ich denke, dass reverend
und Wolfgang dennoch einen anderen Satz im Sinne hatten, nämlich, dass
halt Summen und Differenzen (auch komplexwertiger) konvergenter Folgen
wieder konvergieren. Prinzipiell arbeiten Wolfgang, reverend und ich ja
auch hier mit "äquivalenten Aussagen", von daher ist das auch nicht ganz
verwunderlich.
P.S.
Beachte übrigens IMMER, dass eine Reihe [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ [/mm]
erstmal nur eine Notation für die Folge IHRER Teilsummen, also eine Kurznotation für die Folge
[mm] $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ [/mm] mit
[mm] $$s_n:=\sum_{k=n_0}^n a_k\;\;\;\text{ für jedes nat. }n \ge n_0$$
[/mm]
ist! Und wenn [mm] $(s_n)_n$ [/mm] konvergiert, dann benutzt man das Symbol
[mm] $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ [/mm] AUCH für den Grenzwert [mm] $\lim_{n \to \infty}s_n$ [/mm] der Folge [mm] $(s_n)_n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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