komplexe Vektoren < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Do 12.04.2012 | | Autor: | lzaman |
Hallo, ich versuche gerade das Skalaprodukt komplexer Vektoren zu begreifen.
Ist diese Formel
[mm]\summe \vec{x} \cdot \overline{\vec{y}}[/mm] mit [mm]\vec{x}, \vec{y}\in\IC^n[/mm]
erstmal allgemein gültig?
Wenn ja, dann ist es schnell begriffen, wobei ich nicht weiss, wieso man mit dem konjugierten komplexen Vektor multipliziert...
Danke
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Hallo Izaman,
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> Hallo, ich versuche gerade das Skalaprodukt komplexer
> Vektoren zu begreifen.
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> Ist diese Formel
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> [mm]\summe \vec{x} \cdot \overline{\vec{y}}[/mm] mit [mm]\vec{x}, \vec{y}\in\IC^n[/mm]
>
> erstmal allgemein gültig?
>
Ja, das ist allgemeingültig.
> Wenn ja, dann ist es schnell begriffen, wobei ich nicht
> weiss, wieso man mit dem konjugierten komplexen Vektor
> multipliziert...
>
Eine der Forderungen an das Skalarprodukt ist:[mm]<\vec{x},\vec{x}> \ge 0[/mm]
Im Falle [mm]\vec{x} \in \IC^{n}[/mm] erreichst Du das nur,
wenn das Skalarprodukt wie oben definiert wird.
> Danke
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Do 12.04.2012 | | Autor: | lzaman |
Danke
> Eine der Forderungen an das Skalarprodukt
> ist:[mm]<\vec{x},\vec{x}> \ge 0[/mm]
Könnt Ihr mir noch sagen wie das [mm]<\vec{x},\vec{x}> \ge 0[/mm] ausgesprochen wird? Und muss es nicht [mm]<\vec{x},\vec{y}> \ge 0[/mm] heissen?
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Hallo Izaman,
> Danke
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> > Eine der Forderungen an das Skalarprodukt
> > ist:[mm]<\vec{x},\vec{x}> \ge 0[/mm]
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> Könnt Ihr mir noch sagen wie das [mm]<\vec{x},\vec{x}> \ge 0[/mm]
> ausgesprochen wird? Und muss es nicht [mm]<\vec{x},\vec{y}> \ge 0[/mm]
[mm]\vec{x}[/mm] skalar mit sich selbst multipliziert muß stets [mm] \ge 0[/mm] sein.
> heissen?
>
Nein.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Do 12.04.2012 | | Autor: | lzaman |
Vielen vielen Dank, das gibt mir Sicherheit.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Do 12.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und muss es nicht [mm]<\vec{x},\vec{y}> \ge 0[/mm]
> heissen?
nur mal kurz, damit Dir das nicht entfällt:
Wenn Du mal [mm] $x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2) \in \IR^2$ [/mm] mit dem Standardskalarprodukt [mm] $=<(x_1,x_2),(y_1,y_2)>=x_1y_1+x_2y_2$ [/mm] hast:
Dann kannst Du doch auch [mm] $x,y\,$ [/mm] so angeben, dass $<x,y> [mm] \;<0\,.$ [/mm] Hast Du ein Beispiel?
Und denke mal nach, was in diesem speziellen Fall hier [mm] $\,$ [/mm] "mit einer Länge" zu tun hat!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Fr 13.04.2012 | | Autor: | lzaman |
> nur mal kurz, damit Dir das nicht entfällt:
> Wenn Du mal [mm]x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2) \in \IR^2[/mm] mit dem
> Standardskalarprodukt
> [mm]=<(x_1,x_2),(y_1,y_2)>=x_1y_1+x_2y_2[/mm] hast:
Also nochmal langsam bitte. Hier steht nichts anderes als:
[mm]\vec{x}\cdot\vec{y}=(x_1,x_2)\cdot(y_1,y_2)=x_1y_1+x_2y_2[/mm] oder?
Hier frage ich mich nämlich wieso man andere Schreibweisen wählt, etwa um Verwechslungen mit der reellen Zahlenmultiplikation zu vermeiden?
> Dann kannst Du doch auch [mm]x,y\,[/mm] so angeben, dass [mm] \;<0\,.[/mm]
> Hast Du ein Beispiel?
>
Beispiel wäre: [mm]\vektor{3 \\
2}\cdot\vektor{-6 \\
4}=3\cdot(-6)+2\cdot 4=-18+8=-10[/mm]
Wenn du das so meinst...
> Und denke mal nach, was in diesem speziellen Fall hier
> [mm]\,[/mm] "mit einer Länge" zu tun hat!
Hier fällt mir nur ein: Das Skalarprodukt von [mm]\vec{x}\cdot\vec{x}[/mm] ist das Quadrat der Länge von [mm]\vec{x}[/mm], richtig?
Danke für die Verinnerlichung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Fr 13.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > nur mal kurz, damit Dir das nicht entfällt:
> > Wenn Du mal [mm]x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2) \in \IR^2[/mm] mit dem
> > Standardskalarprodukt
> > [mm]=<(x_1,x_2),(y_1,y_2)>=x_1y_1+x_2y_2[/mm] hast:
>
> Also nochmal langsam bitte. Hier steht nichts anderes als:
>
> [mm]\vec{x}\cdot\vec{y}=(x_1,x_2)\cdot(y_1,y_2)=x_1y_1+x_2y_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> oder?
>
> Hier frage ich mich nämlich wieso man andere Schreibweisen
> wählt, etwa um Verwechslungen mit der reellen
> Zahlenmultiplikation zu vermeiden?
Schreibweisen sind Schreibweisen - die Verwechslung mit der reellen Zahlenmultiplikation bei "Produkt zweier $\IR^2$-Elemente" ist ja nicht wirklich gegeben - Du kannst auch $x \cdot y$ schreiben (allerdings beachte: Oft schreibt man ja auch $A\cdot B$ bei Matrixmultiplikationen - sofern die Matrizen so sind, dass diese definiert ist.
Und dann wäre, wenn $x,y \in \IR^2$ wie bei Dir SPALTENVEKTOREN sind, dann $<x,y>=x^T \cdot y=y^T \cdot x\,.$ Dabei bedeutet das "hoch T" nur "transponiert". Die Schreibweise $<x,y>\,$ für ein Skalarprodukt hat aber auch gewisse Vorteile... aber das lernt man erst im Laufe der Zeit - natürlich könnte man auch anstatt $<x,y>\,$ sowas wie $\}x,y\{$ schreiben und hätte die gleichen Vorteile....).
Ich habe einfach meine Schreibweisen gewählt (ich schreibe ja auch nicht $\vec{x}\,,$ sondern nur $x\,.$).
Dir muss nur jeweils die Bedeutung der Symbole klar sein und was Du damit rechnest (oder welche Eigenschaften Du dann benutzen darfst).
Das ist mehr Definitionssache: Manche schreiben auch $x \bullet y=x_1y_1+x_2y_2$ für $x,y \in \IR^2$ und $\bullet$ dann für das Standard-Skalarprodukt.
Aber natürlich: Das gleiche Symbol kann/sollte nicht für verschieden Rechenoperationen auf dem gleichen Raum (oder einer Teilmenge davon) verwendet werden. Ich kann nicht etwa sagen $x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2)$ für $x,y \in \IR^2$ und dann etwa ein anderes $+\,$ definieren durch $x+y=(x_1-y_2,x_2-y_1)\,.$ Wenn schon, dann müßte ich dann etwa $x\oplus y=(x_1-y_2,x_2-y_1)$ schreiben. Sonst ist ja nicht klar, was ich mit $x+y\,$ meine - es sei denn, es ergäbe sich stets aus dem Zshg..
> > Dann kannst Du doch auch [mm]x,y\,[/mm] so angeben, dass [mm] \;<0\,.[/mm]
> > Hast Du ein Beispiel?
> >
>
> Beispiel wäre: [mm]\vektor{3 \\
2}\cdot\vektor{-6 \\
4}=3\cdot(-6)+2\cdot 4=-18+8=-10[/mm]
>
> Wenn du das so meinst...
Ja. Du siehst hier auch, dass Du die Elemente des [mm] $\IR^2$ [/mm] lieber als Spaltenvektoren schreibst - ich schreibe sie als Zeilenvektoren. Das ist aber wegen der Isomorphie von [mm] $\IR^{1 \times 2}$ [/mm] mit [mm] $\IR^{2 \times 1}$ [/mm] egal.
> > Und denke mal nach, was in diesem speziellen Fall hier
> > [mm]\,[/mm] "mit einer Länge" zu tun hat!
>
> Hier fällt mir nur ein: Das Skalarprodukt von
> [mm]\vec{x}\cdot\vec{x}[/mm] ist das Quadrat der Länge von [mm]\vec{x}[/mm],
> richtig?
Korrekt! Und können Quadrate reeller Zahlen echt negativ sein?
> Danke für die Verinnerlichung.
Das musst Du beurteilen, ob es Dir geholfen hat, das zu verinnerlichen. Ich hoffe jedenfalls, dass es dahingehend wenigstens ein wenig geholfen hat!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:23 Sa 14.04.2012 | | Autor: | lzaman |
Hallo Marcel,
ich kann Dir nur sagen, dass es mir geholfen hat...
Das werde ich nicht so schnell vergessen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:31 So 15.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
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> ich kann Dir nur sagen, dass es mir geholfen hat...
>
> Das werde ich nicht so schnell vergessen.
sehr gut - dann hat es seinen Zweck erfüllt! 
Gruß,
Marcel
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