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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - komplexe Wurzelfunktion
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komplexe Wurzelfunktion: komplexe Quadratwurzelfunktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:13 So 16.12.2018
Autor: xXMathe_NoobXx

Aufgabe
[mm] z^2 [/mm] = -3-4*j


Wie berechne Ich die Lösungen für z im komplexen ?


        
Bezug
komplexe Wurzelfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:55 So 16.12.2018
Autor: chrisno

Fang einfach an. Schreibe $z = x + jy$, quadriere das.
Dann hast Du eine Gleichung im Komplexen. Daraus ergeben sich zwei Gleichungen im Reellen. Das Gleichungssystem löst Du.

Bezug
                
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komplexe Wurzelfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:20 So 16.12.2018
Autor: xXMathe_NoobXx

Ich dachte da viel mehr an die Definition der komplexen Wurzelfunktion

Bezug
                        
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komplexe Wurzelfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:22 So 16.12.2018
Autor: fred97


> Ich dachte da viel mehr an die Definition der komplexen
> Wurzelfunktion

Daran  kannst Du ja denken, aber mach  es dennoch so, wie  mein  Vorredner es Dir gesagt hat.

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komplexe Wurzelfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:56 Mo 17.12.2018
Autor: hohohaha1234

Hallo,

am schnellsten geht so etwas im Allgemeinen in dem du es in die Polarform umwandelst und den Satz von De Moivre für komplexe Wurzeln anwendest. Vor allem wenn du höhere Wurzeln berechnen musst.

Ohne die Polarform zu benutzen geht es so:  

$z:= a+bi [mm] \in \IC [/mm] $ ,$a,b,x,y [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $i^2 [/mm] = -1 $

Dann:

[mm] $z^2 [/mm] = (a+bi) (a+bi) = [mm] a^2 [/mm] + 2abi - [mm] b^2 [/mm] = x+yi$

Koeffizientenvergleich:

(1): [mm] $a^2-b^2 [/mm] = x $  und (2): $2ab = y$

Also

[mm] $(a^2 [/mm]  - [mm] b^2)^2 [/mm] + [mm] (2ab)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] $

[mm] $a^4 [/mm] - [mm] 2a^{2}b^{2}+b^{4} [/mm] + [mm] 4a^{2}b^{2} [/mm] = [mm] (a^2+b^2)^{2} [/mm] = [mm] x^{2}+y^{2}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow a^2+b^2 [/mm] = [mm] \sqrt{x^{2}+y^{2}} \ge [/mm] 0$ (3)



Nutzung von (1) und (3) liefert :

[mm] $\Rightarrow a^{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(a^2+a^2+b^2 [/mm] - [mm] b^2) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (\sqrt{x^2+ y^2} [/mm] + x) $

und analog : [mm] $b^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (\sqrt{x^2 + y^2}-x)$ [/mm]


Jetzt hat man 4  mögliche Werte für z, wenn man allerdings (2) betrachtet sieht man, dass davon nur 2 stimmen können.





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komplexe Wurzelfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Mo 17.12.2018
Autor: xXMathe_NoobXx

und wie würde das in polarform aussehen ?

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komplexe Wurzelfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:13 Di 18.12.2018
Autor: hohohaha1234

Warum probierst du es nicht selbst und findest es raus?

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komplexe Wurzelfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:33 Di 18.12.2018
Autor: sancho1980

Also ich denke eigentlich musst du doch nur streng nach den Definitionen vorgehen:

[mm] z^2 [/mm] = -3 - 4j, z = [mm] \wurzel{-3 - 4j} [/mm]

Polardarstellung von -3 -4j:

-3 - 4j = r [mm] e^{i \varphi} [/mm]

r = [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] = [mm] \wurzel{9 + 16} [/mm] = 5

[mm] \varphi [/mm] = [mm] -arccos(\bruch{x}{r}) [/mm] = [mm] -arccos(-\bruch{3}{5}) [/mm]

z = [mm] \wurzel{r}e^{i \bruch{\varphi}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{5}e^{i \bruch{-arccos(-\bruch{3}{5})}{2}} [/mm]

Bezug
                                
Bezug
komplexe Wurzelfunktion: MOIVRE-Formel / mehrere Lsg.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:07 Di 18.12.2018
Autor: Roadrunner

Hallo sancho,

bedenke aber, dass es gemäß MBMoivre-Formel auch mehrere Lösungen gibt (in diesem Falle: zwei).


@Mathe-Noob:
unter dem Link MBMoivre-Formel findest Du auch ein Beispiel zur Anwendung dieser Formel.


Gruß vom
Roadrunner

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