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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
Hallo!
ich muss eine Tabelle vervollständigen und habe bei einigen Teilen probleme.
a)
ich hab 1/z gegeben und will z herauskriegen
1/z= 1-i
was ist z?
b)
ich habe den Betrag und das Argument von z gegeben und möchte z herausbekommen.
|z|= [mm] \wurzel{5}
[/mm]
[mm] arg(z)=5\pi/6
[/mm]
was ist z?
c)
ich habe z² und arg(z) gegeben, was ist z?
z²=-1
arg(z)= [mm] \in \pi, 2\pi
[/mm]
d)
ich habe z=1/i gegeben, was ist 1/z?
1/1/i ?
und was ist das arg(z)
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Gruß, Toni
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Hallo,
> ich muss eine Tabelle vervollständigen und habe bei einigen
> Teilen probleme.
>
> a)
> ich hab 1/z gegeben und will z herauskriegen
>
> 1/z= 1-i
>
> was ist z?
Nun, z ist offensichtlich der Kehrwert der rechten Seite, also
$z = [mm] \bruch{1}{1-i}$
[/mm]
Wenn Du eine komplexe Zahl in kartesischer Form im Nenner hast, sollte gleich der Reflex kommen, den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner zu erweitern:
[mm]z = \bruch{1+i}{(1-i)*(1+i)} = \bruch{1+i}{1^2-i^2} = \bruch{1+i}{2} = 0,5 + 0,5i [/mm]
> b)
>
> ich habe den Betrag und das Argument von z gegeben und
> möchte z herausbekommen.
>
> |z|= [mm]\wurzel{5}[/mm]
> [mm]arg(z)=5\pi/6[/mm]
>
> was ist z?
Die Umrechnung von der kartesischen Form in die Polarform steht bestimmt irgendwo in deinem Mathe-Buch, Formelsammlung oder in deinem Skript.
[mm]z = \wurzel{5}*exp\left(\bruch{5}{6}\pi\right) = \wurzel{5}*\left(cos\left(\bruch{5}{6}\pi\right)+i*sin\left(\bruch{5}{6}\pi\right)\right) = -\wurzel{\bruch{3}{4}}*\wurzel{5}+\bruch{1}{2}*\wurzel{5}[/mm]
> c)
>
> ich habe z² und arg(z) gegeben, was ist z?
> z²=-1
> arg(z)= [mm]\in \pi, 2\pi[/mm]
>
Die Gleichung [mm] z^2 [/mm] = -1 hat ja 2 Lösungen:
[mm] $z^2 [/mm] = -1 = [mm] 1*e^{i\pi} [/mm] = [mm] 1*e^{i(\pi+k*2\pi)}$
[/mm]
$z = [mm] \wurzel{1}*exp\left(\bruch{i(\pi+k*2\pi)}{2}\right)$ [/mm] mit k = 0,1
also [mm] z_1 [/mm] = [mm] e^{i*0,5\pi} [/mm] = i und [mm] z_2 [/mm] = [mm] e^{i*1,5\pi} [/mm] = -i .
Wenn Du mit deiner Angabe meinst, dass das Argument von z im Intervall [mm] [\pi;2\pi] [/mm] liegen soll, dann ist [mm] z_2 [/mm] die Lösung.
> d)
>
> ich habe z=1/i gegeben, was ist 1/z?
>
> 1/1/i ?
Ja, genau. Und 1/1/i müsste ja i sein.
> und was ist das arg(z)
Wie bereits oben erwähnt mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitern:
$z = [mm] \bruch{1}{i}=\bruch{-i}{i*(-i)} [/mm] = -i$
Malst Du dir -i in die Gaußsche Zahlenebene, findest Du:
arg(z) = [mm] \bruch{3}{2}\pi
[/mm]
LG, Martinius
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