komplexe Zahl finden < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Mi 13.04.2016 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | | Finden Sie geometrisch eine komplexe Zahl z [mm] \in \IC/\IR [/mm] mit [mm] z^3=-1 [/mm] |
Hallo ihr Lieben,
ich habe leider keinen blassen schimmer wie ich geometrisch auf die Lösung kommen soll.
Hat einer von euch einen Tipp?
Danke
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> Finden Sie geometrisch eine komplexe Zahl z [mm]\in \IC/\IR[/mm] mit
> [mm]z^3=-1[/mm]
> Hallo ihr Lieben,
>
> ich habe leider keinen blassen schimmer wie ich geometrisch
> auf die Lösung kommen soll.
>
> Hat einer von euch einen Tipp?
>
> Danke
Hallo Lisa,
ich stelle mir vor, dass diese Frage gestellt worden ist,
nachdem darüber gesprochen wurde, wie sich die
Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation
mit einer reellen Zahl, Multiplikation zweier komplexer
Zahlen, Potenzieren einer komplexen Zahl mit einer
natürlichen Zahl) geometrisch darstellen.
So erhält man zum Beispiel aus dem Pfeil, der die Zahl z
darstellt, denjenigen für [mm] z^2, [/mm] indem man den Winkel [mm] \varphi [/mm] von z
verdoppelt und den Betrag r von z quadriert. Der Pfeil der
komplexen Zahl [mm] z^2 [/mm] hat dann den Betrag [mm] r^2 [/mm] und den
Winkel $\ 2\ [mm] \varphi$ [/mm] . Wie geht es, wenn man aus dem
Pfeil für z denjenigen für [mm] z^3 [/mm] konstruieren will ?
Hilft das weiter ?
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mi 13.04.2016 | | Autor: | lisa2802 |
> > Finden Sie geometrisch eine komplexe Zahl z [mm]\in \IC/\IR[/mm] mit
> > [mm]z^3=-1[/mm]
>
> > Hallo ihr Lieben,
> >
> > ich habe leider keinen blassen schimmer wie ich geometrisch
> > auf die Lösung kommen soll.
> >
> > Hat einer von euch einen Tipp?
> >
> > Danke
>
>
> Hallo Lisa,
>
> ich stelle mir vor, dass diese Frage gestellt worden ist,
> nachdem darüber gesprochen wurde, wie sich die
> Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation
> mit einer reellen Zahl, Multiplikation zweier komplexer
> Zahlen, Potenzieren einer komplexen Zahl mit einer
> natürlichen Zahl) geometrisch darstellen.
>
> So erhält man zum Beispiel aus dem Pfeil, der die Zahl z
> darstellt, denjenigen für [mm]z^2,[/mm] indem man den Winkel
> [mm]\varphi[/mm] von z
> verdoppelt und den Betrag r von z quadriert. Der Pfeil
> der
> komplexen Zahl [mm]z^2[/mm] hat dann den Betrag [mm]r^2[/mm] und den
> Winkel [mm]\ 2\ \varphi[/mm] . Wie geht es, wenn man aus dem
> Pfeil für z denjenigen für [mm]z^3[/mm] konstruieren will ?
>
> Hilft das weiter ?
>
> LG , Al-Chwarizmi
hallöchen und schon mal danke!
das habe ich mir zuerst überlegt,
z=a+ib
[mm] z^3=-1
[/mm]
z=(-1)^(1/3)
[mm] |z|=r=\wurzel{(-1)^\bruch{2}{3}}=1 [/mm] oder muss ich erst die dritte Wurzel ziehen und dann quadrieren?
würde bedeuten ich hätte wenn ich einen Kreis zeichne den Einheitskreis mit r=1 und zeichne ich nun ein rechtwinkliges dreieck ein hätte ich als Länge der Hypotenuse ébenfalls 1. darüber könnte ich ja nun den Winkel bestimmen der zwischen Hypotenuse und Ankathete(bzw x-/Realteil-Achse) liegt...
von [mm] z^2 [/mm] auf [mm] z^3 [/mm] müsste eigentlich analog laufen also [mm] r^3 [/mm] und 3facher Winkel.
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> > > Finden Sie geometrisch eine komplexe Zahl z [mm]\in \IC/\IR[/mm] mit
> > > [mm]z^3=-1[/mm]
> >
> > > Hallo ihr Lieben,
> > >
> > > ich habe leider keinen blassen schimmer wie ich geometrisch
> > > auf die Lösung kommen soll.
> > >
> > > Hat einer von euch einen Tipp?
> > >
> > > Danke
> >
> >
> > Hallo Lisa,
> >
> > ich stelle mir vor, dass diese Frage gestellt worden ist,
> > nachdem darüber gesprochen wurde, wie sich die
> > Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation
> > mit einer reellen Zahl, Multiplikation zweier
> komplexer
> > Zahlen, Potenzieren einer komplexen Zahl mit einer
> > natürlichen Zahl) geometrisch darstellen.
> >
> > So erhält man zum Beispiel aus dem Pfeil, der die Zahl z
> > darstellt, denjenigen für [mm]z^2,[/mm] indem man den Winkel
> > [mm]\varphi[/mm] von z
> > verdoppelt und den Betrag r von z quadriert. Der Pfeil
> > der
> > komplexen Zahl [mm]z^2[/mm] hat dann den Betrag [mm]r^2[/mm] und den
> > Winkel [mm]\ 2\ \varphi[/mm] . Wie geht es, wenn man aus dem
> > Pfeil für z denjenigen für [mm]z^3[/mm] konstruieren will
> ?
> >
> > Hilft das weiter ?
> >
> > LG , Al-Chwarizmi
>
>
> hallöchen und schon mal danke!
>
> das habe ich mir zuerst überlegt,
> z=a+ib
> [mm]z^3=-1[/mm]
> z=(-1)^(1/3)
> [mm]|z|=r=\wurzel{(-1)^\bruch{2}{3}}=1[/mm] oder muss ich erst die
> dritte Wurzel ziehen und dann quadrieren?
Dies führt hier kaum weiter bzw. eher in die Irre.
> würde bedeuten ich hätte wenn ich einen Kreis zeichne den
> Einheitskreis mit r=1 und zeichne ich nun ein
> rechtwinkliges dreieck ein hätte ich als Länge der
> Hypotenuse ébenfalls 1. darüber könnte ich ja nun den
> Winkel bestimmen der zwischen Hypotenuse und Ankathete(bzw
> x-/Realteil-Achse) liegt...
>
>
> von [mm]z^2[/mm] auf [mm]z^3[/mm] müsste eigentlich analog laufen also [mm]r^3[/mm]
> und 3facher Winkel.
Von [mm] z^2 [/mm] auf [mm] z^3 [/mm] ?
Vermutlich meinst du es richtig ...
Um ausgehend vom Pfeil für z (Betrag r, Winkel [mm] \varphi) [/mm] denjenigen
für [mm] z^3 [/mm] zu erhalten, muss man den Betrag [mm] R:=r^3 [/mm] und den
Winkel [mm] \Phi :=3*\varphi [/mm] nehmen.
Und jetzt stellt sich die umgekehrte Frage: Wenn R und [mm] \Phi
[/mm]
bekannt sind, wie erhalten wir daraus die zugehörigen r und [mm] \varphi [/mm] ,
so dass gilt:
R = [mm] r^3 [/mm] und [mm] \Phi [/mm] = [mm] 3*\varphi [/mm] ?
Hinweis: die letzte Gleichung muss man dabei modulo [mm] 2\pi
[/mm]
auffassen. Verstehst du, wie das gemeint ist und wieso dies
hier wichtig ist ?
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Do 14.04.2016 | | Autor: | lisa2802 |
> Vermutlich meinst du es richtig ...
> Um ausgehend vom Pfeil für z (Betrag r, Winkel [mm]\varphi)[/mm]
> denjenigen
> für [mm]z^3[/mm] zu erhalten, muss man den Betrag [mm]R:=r^3[/mm] und den
> Winkel [mm]\Phi :=3*\varphi[/mm] nehmen.
>
> Und jetzt stellt sich die umgekehrte Frage: Wenn R und
> [mm]\Phi[/mm]
> bekannt sind, wie erhalten wir daraus die zugehörigen r
> und [mm]\varphi[/mm] ,
> so dass gilt:
>
> R = [mm]r^3[/mm] und [mm]\Phi[/mm] = [mm]3*\varphi[/mm] ?
>
> Hinweis: die letzte Gleichung muss man dabei modulo [mm]2\pi[/mm]
> auffassen. Verstehst du, wie das gemeint ist und wieso
> dies
> hier wichtig ist ?
>
> LG , Al-Chw.
>
>
Mod 2pi muss ich es auffassen da eine volle Umdrehung,also 360grad, 2pientspricht und ich somit immer wieder "vorne" anfange.
R = [mm] |z^3| [/mm] und [mm] \Phi [/mm] = arg [mm] z^3 [/mm] ?
Hm. Also da bin ich mir unsicher. Eine Multiplikation mit einer komplexen Zahl entspricht einer Drehung und mit einer reellen Zahl bzw Skalar der Streckung.
[mm] Z^3 [/mm] ist ja nichts anderes als z*z*z, also wird z gedreht und dadurch bekomme ich das [mm] 3*\varphi. [/mm] Ist das soweit vom Verständnis her richtig? Analog mit der Länge von z, da r ein Skalar wird z gestreckt um den Faktor [mm] r^2 [/mm] und somit insgesamt [mm] R=r^3.
[/mm]
Sehe ich das so richtig? Ich versteh einfach nicht wie ich das zusammen bringen und formal niederschreiben soll. Insbesondere dieses "geometrisch" verunsichert mich so sehr 😔
Danke!!!!
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> Mod 2pi muss ich es auffassen da eine volle Umdrehung,also
> 360grad, 2pi entspricht und ich somit immer wieder "vorne"
> anfange. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Richtig.
> R = [mm]|z^3|[/mm] und [mm]\Phi[/mm] = arg [mm]z^3[/mm] ?
So war das gemeint. z steht für die gesuchte Zahl.
$\ R\ =\ 1$ und [mm] $\Phi\ [/mm] =\ [mm] \pi$ [/mm] sind vorgegeben
> Hm. Also da bin ich mir unsicher. Eine Multiplikation mit
> einer komplexen Zahl entspricht einer Drehung und mit einer
> reellen Zahl bzw Skalar der Streckung.
> [mm]Z^3[/mm] ist ja nichts anderes als z*z*z, also wird z gedreht
> und dadurch bekomme ich das [mm]3*\varphi.[/mm] Ist das soweit vom
> Verständnis her richtig? Analog mit der Länge von z, da r
> ein Skalar wird z gestreckt um den Faktor [mm]r^2[/mm] und somit
> insgesamt [mm]R=r^3.[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
r wird hier nicht "mit [mm] r^2 [/mm] gestreckt", sondern zur dritten
Potenz erhoben.
Aus $\ R\ =\ [mm] r^3\ [/mm] =\ 1$ folgt natürlich $\ r\ =\ [mm] \wurzel[3]{1}\ [/mm] =\ 1$
Und aus [mm] $\Phi\ [/mm] =\ [mm] 3*\varphi\ [/mm] =\ [mm] \pi\ [/mm] \ (mod\ [mm] 2\, \pi)$ [/mm] kann man schließen, dass
[mm] $\varphi\ [/mm] =\ [mm] \frac{\pi}{3}\ [/mm] \ (mod\ [mm] \frac{2\,\pi}{3} [/mm] ) $
Dies ergibt 3 voneinander verschiedene mögliche Argumentwinkel,
wovon einer zur reellen Lösung z=-1 führt (welche nicht gefragt war);
die anderen beiden führen zu den (zueinander "konjugierten") echt
komplexen Lösungen für z.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Do 14.04.2016 | | Autor: | lisa2802 |
> > Mod 2pi muss ich es auffassen da eine volle Umdrehung,also
> > 360grad, 2pi entspricht und ich somit immer wieder "vorne"
> > anfange.
>
> Richtig.
>
> > R = [mm]|z^3|[/mm] und [mm]\Phi[/mm] = arg [mm]z^3[/mm] ?
>
> So war das gemeint. z steht für die gesuchte Zahl.
> [mm]\ R\ =\ 1[/mm] und [mm]\Phi\ =\ \pi[/mm] sind vorgegeben
Frage zu [mm] \Phi\ =\pi
[/mm]
sei [mm] z^3 [/mm] = w =-1
dann ist das [mm] \Phi=arg [/mm] (w) = arg [mm] (z^3)= arctan(\bruch{b}{a}) +\pi [/mm] = [mm] arctan(\bruch{0}{-1}) [/mm] + [mm] \pi [/mm] = 0+ [mm] \pi [/mm] , da [mm] b\le0, [/mm] bzw =0 und a = -1 <0 ?
und R=1 , da [mm] z^3=w=-1 [/mm] und [mm] |z^3|=|w| [/mm] = [mm] \wurzel{(-1)^2}
[/mm]
>
> > Hm. Also da bin ich mir unsicher. Eine Multiplikation mit
> > einer komplexen Zahl entspricht einer Drehung und mit einer
> > reellen Zahl bzw Skalar der Streckung.
> > [mm]Z^3[/mm] ist ja nichts anderes als z*z*z, also wird z gedreht
> > und dadurch bekomme ich das [mm]3*\varphi.[/mm] Ist das soweit vom
> > Verständnis her richtig? Analog mit der Länge von z, da r
> > ein Skalar wird z gestreckt um den Faktor [mm]r^2[/mm] und somit
> > insgesamt [mm]R=r^3.[/mm]
>
> r wird hier nicht "mit [mm]r^2[/mm] gestreckt", sondern zur dritten
> Potenz erhoben.
Aber das mit der Drehung ist korrekt?
>
> Aus [mm]\ R\ =\ r^3\ =\ 1[/mm] folgt natürlich [mm]\ r\ =\ \wurzel[3]{1}\ =\ 1[/mm]
>
> Und aus [mm]\Phi\ =\ 3*\varphi\ =\ \pi\ \ (mod\ 2\, \pi)[/mm]
Wie bekomme ich denn diese Beziehung hin? also dass es so folgt?? Wenn die Überlegung oben nicht richtig ist? also woher weiß ich dass es [mm] r^3 [/mm] dann auch ist?
> kann man schließen, dass
>
> [mm]\varphi\ =\ \frac{\pi}{3}\ \ (mod\ \frac{2\,\pi}{3} ) [/mm]
Danke!!
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Guten Abend Lisa
> Frage zu [mm]\Phi\ =\pi[/mm]
> sei [mm]z^3[/mm] = w =-1
> dann ist das [mm]\Phi=arg[/mm] (w) = arg [mm](z^3)= arctan(\bruch{b}{a}) +\pi[/mm]
> = [mm]arctan(\bruch{0}{-1})[/mm] + [mm]\pi[/mm] = 0+ [mm]\pi[/mm] , da [mm]b\le0,[/mm] bzw =0
> und a = -1 <0 ?
> und R=1 , da [mm]z^3=w=-1[/mm] und [mm]|z^3|=|w|[/mm] = [mm]\wurzel{(-1)^2}[/mm]
Ich verstehe nicht so recht, weshalb du da überhaupt eine
Schwierigkeit siehst. Es geht ja zunächst einfach einmal um
Polarkoordinaten in der komplexen Ebene. Der Punkt, der
die Zahl w = -1 darstellt, liegt auf der negativen reellen
Achse, also links ("im Westen") vom Nullpunkt, und zwar im Abstand 1
von diesem. Daraus ist sofort ersichtlich, dass [mm] \Phi [/mm] = arg(w) = 180° = [mm] \pi
[/mm]
und R = |w| = 1 . Dafür muss man keinen Arcustangens und
auch keine Quadratwurzel bemühen.
Man kann es ja einfach sehen ...
> > > Hm. Also da bin ich mir unsicher. Eine Multiplikation mit
> > > einer komplexen Zahl entspricht einer Drehung und mit einer
> > > reellen Zahl bzw Skalar der Streckung.
> > > [mm]Z^3[/mm] ist ja nichts anderes als z*z*z, also wird z gedreht
> > > und dadurch bekomme ich das [mm]3*\varphi.[/mm] Ist das soweit vom
> > > Verständnis her richtig? Analog mit der Länge von z, da r
> > > ein Skalar wird z gestreckt um den Faktor [mm]r^2[/mm] und somit
> > > insgesamt [mm]R=r^3.[/mm]
> >
> > r wird hier nicht "mit [mm]r^2[/mm] gestreckt", sondern zur dritten
> > Potenz erhoben.
> Aber das mit der Drehung ist korrekt?
Ja. Für die Potenzierung einer komplexen Zahl ist die Polarform
$\ z\ =\ [mm] r*e^{i\ \varphi}$
[/mm]
besonders praktisch wegen der Beziehung
$ [mm] \left(r\,*\,e^{i\ \varphi}\right)^n\ [/mm] =\ [mm] r^n\, *\,e^{i\,*\,n\,*\, \varphi}$
[/mm]
Daraus ist ersichtlich: Eine komplexe Zahl wird mit dem
Exponenten n (vorläufig sei einmal [mm] n\in\IN) [/mm] potenziert,
indem man ihren Betrag mit n potenziert und ihren
Argumentwinkel mit n multipliziert.
> > Aus [mm]\ R\ =\ r^3\ =\ 1[/mm] folgt natürlich [mm]\ r\ =\ \wurzel[3]{1}\ =\ 1[/mm]
>
> >
> > Und aus [mm]\Phi\ =\ 3*\varphi\ =\ \pi\ \ (mod\ 2\, \pi)[/mm]
>
> Wie bekomme ich denn diese Beziehung hin? also dass es so
> folgt?? Wenn die Überlegung oben nicht richtig ist? also
> woher weiß ich dass es [mm]r^3[/mm] dann auch ist?
Ich denke, dass die angegebene Rechnung mit der Exponential-
darstellung deine Frage beantworten sollte.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Sa 16.04.2016 | | Autor: | lisa2802 |
Danke !!
Mir fehlte der Zusammenhang zum zeichnen den ich vorhin selber angebracht habe [mm] (w=z^3=-1). [/mm] Manchmal steht man auf dem Schlauch :D
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> Finden Sie geometrisch eine komplexe Zahl z [mm]\in \IC/\IR[/mm] mit
> [mm]z^3=-1[/mm]
Hallo Lisa,
noch eine Bemerkung zur Schreibweise für die Differenzmenge
" [mm] \IC [/mm] ohne [mm] \IR [/mm] ".
Du hast geschrieben: [mm]\IC/\IR[/mm]
Richtig wäre: $ [mm] \IC \smallsetminus \IR$ [/mm] (\smallsetminus )
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Do 14.04.2016 | | Autor: | lisa2802 |
Danke! :)
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