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Forum "Uni-Lineare Algebra" - komplexe Zahlen
komplexe Zahlen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Mo 07.11.2005
Autor: Franzie

Hallo ihr Lieben!

brauche ein paar tipps zur lösung folgender aufgabe:
ich soll die reellen zahlen c und in abhängigkeit von a und b aus der gleichung (a+bi)*(c+di)=1 bestimmen.
ich weiß, dass zwei komplexe zahlen genau dann gleich sind, wenn realteile und imaginärteile übereinstimmen (warum ist das eigentlich so?)
weiterhin hab ich die zahlen schon so umgeformt:

(a+bi)*(c+di)= [mm] (\vektor{a \\ 0}+ \vektor{b \\ 0}* \vektor{0\\ 1})*( \vektor{c \\ 0}+ \vektor{d \\ 0}* \vektor{0\\ 1})=1 [/mm]
und weiter
= [mm] \vektor{a \\ b}* \vektor{c \\ d}=1 [/mm] und wenn ich das jetzt berechnen will
[mm] \vektor{ac-bd \\ ad+bc}=1 [/mm]
aber wie mach ich da jetzt weiter, um auf ein ergebnis zu kommen?

liebe grüße und danke schon mal

        
Bezug
komplexe Zahlen: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 Mo 07.11.2005
Autor: MathePower

Hallo Franzie,

> Hallo ihr Lieben!
>  
> brauche ein paar tipps zur lösung folgender aufgabe:
>  ich soll die reellen zahlen c und in abhängigkeit von a
> und b aus der gleichung (a+bi)*(c+di)=1 bestimmen.
>  ich weiß, dass zwei komplexe zahlen genau dann gleich
> sind, wenn realteile und imaginärteile übereinstimmen
> (warum ist das eigentlich so?)
>  weiterhin hab ich die zahlen schon so umgeformt:
>  
> (a+bi)*(c+di)= [mm](\vektor{a \\ 0}+ \vektor{b \\ 0}* \vektor{0\\ 1})*( \vektor{c \\ 0}+ \vektor{d \\ 0}* \vektor{0\\ 1})=1[/mm]
>  
> und weiter
> = [mm]\vektor{a \\ b}* \vektor{c \\ d}=1[/mm] und wenn ich das jetzt
> berechnen will
>   [mm]\vektor{ac-bd \\ ad+bc}=1[/mm]
>  aber wie mach ich da jetzt
> weiter, um auf ein ergebnis zu kommen?

Schreibst Du obige Gleichung aus, und setzt die mit der 1 gleich, dann erkennst Du, daß der Imaginärteil verschwinden muß.

Korrekterweise lautet die Gleichung dann so:

   [mm]\vektor{ac-bd \\ ad+bc}\;=\;\vektor{1 \\ 0}[/mm]

Und das fasst man das als ein Lineares Gleichungssystem für c und d auf.

Gruß
MathePower

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komplexe Zahlen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:44 Mo 07.11.2005
Autor: Franzie

wo wir doch gerade über komplexe zahlen reden, hab ich da noch eine frage. wie kann ich eigentlich zu einer gegebenen komplexen zahl das multiplikativ inverse element berechnen, z.b. bei 5+2i? einfach mit -1 multiplizieren oder wie funktioniert das?

Bezug
                
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komplexe Zahlen: Schon fertig,..
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:29 Di 08.11.2005
Autor: statler

Guten Morgen Franziska!

...jedenfalls, wenn du den ersten Teil bis zum Ende durchgezogen hast.

(a + bi)*(c + di) = 1 heißt doch gerade, daß (c + di) das multiplikative Inverse zu (a + bi) ist. Wenn du deine Gleichungen im 1. Teil in allgemeiner Form gelöst hast, brauchst du jetzt nur noch a = 5 und b = 2 zu nehmen.

Alles klar?

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


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komplexe Zahlen: Rückfrage mit Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:39 Di 08.11.2005
Autor: Franzie

also ich hab die gleichung (a+bi)*(c+di)=1 jetzt aufgelöst und jeweils c und d durch a und b ausgedrückt un erhalte als ergebnis für

c=a/( [mm] a^{2}+ b^{2}) [/mm] und für

d=-b/( [mm] a^{2}+ b^{2}) [/mm] . das müsste doch eigentlich okay sein. mit dieser gleichung kann ich ja nun theoretisch die multiplikativen inversen zu folgenden zahlen bestimmen:

(5+2i):            (5-2i)/29
(7-i):               (7-i)/50
(1+2i):            (1-2i)/5

hab ich das jetzt richtig gemacht?
lieben gruß

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komplexe Zahlen: Schreibfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Di 08.11.2005
Autor: MathePower

Hallo Franzie,

> also ich hab die gleichung (a+bi)*(c+di)=1 jetzt aufgelöst
> und jeweils c und d durch a und b ausgedrückt un erhalte
> als ergebnis für
>  
> c=a/( [mm]a^{2}+ b^{2})[/mm] und für
>  
> d=-b/( [mm]a^{2}+ b^{2})[/mm] . das müsste doch eigentlich okay
> sein. mit dieser gleichung kann ich ja nun theoretisch die
> multiplikativen inversen zu folgenden zahlen bestimmen:

[ok]

>  
> (5+2i):            (5-2i)/29
>  (7-i):               (7-i)/50

Das muss heißen:
(7-i):               (7+i)/50

>  (1+2i):            (1-2i)/5
>  
> hab ich das jetzt richtig gemacht?

Ja, bis auf den kleinen Schreibfehler.

Gruß
MathePower

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