komplexe Zahlen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Mo 25.10.2004 | | Autor: | ossywest |
Hallo zusammen,
vielleicht könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen.
Geben sie die folgenden komplexen Zahlen z [mm] \in \IZ [/mm] in der Form r + si mit reellen Zahlen r,s an und berechnen sie jeweils |z|.
z = [mm] \bruch{1}{5i}
[/mm]
könnt ihr mir helfen?
Wie muß ich den r und s einsetzen? Ist si in diesem Beispiel 5i? Wenn ja, was ist dann r?
MfG
ossywest!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Mo 25.10.2004 | | Autor: | ossywest |
Kannst du mir da noch einen anhaltspunkt geben, irgend wie denke ich scheinbar zu schwer? Die Lösung unter Idee, wenn ich i² einsetzt, verstehe ich auch nicht. Denn wen ich da anstelle von i eine Zahl einsetze, bekomme ich ein anderes Ergebnis raus.
MfG
ossywest!
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Hallo!
Du schreibst den Zähler nur anders....
da [mm] i^{2} [/mm] = -1 gilt 1= -1 * [mm] i^{2}
[/mm]
und dann kommst du wie ich schon gesagt habe, auf r=0 und s= [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
ich hoff ich konnt dir ein wenig weiterhelfen
Liebe Grüße
Ulrike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 Di 26.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo ossywest,
(edit Marcel, 26.10.04, 13:22 Uhr: Rechnungen nachträglich geändert, denn ich hatte mit [m]\frac{5}{i}[/m] anstatt [mm] $\frac{1}{5i}$ [/mm] gerechnet. Danke an Friedrich Laher für den Hinweis!)
> Kannst du mir da noch einen anhaltspunkt geben, irgend wie denke ich scheinbar > zu schwer? Die Lösung unter Idee, wenn ich i² einsetzt, verstehe ich auch
> nicht. Denn wen ich da anstelle von i eine Zahl einsetze, bekomme ich ein
> anderes Ergebnis raus.
$i$ ist bei dieser Aufgabe keine Variable. $i$ ist eine (feste) komplexe Zahl (also [m]i \in \IC[/m]), diese Zahl hat die Eigenschaft, dass $i²=i*i=-1$ gilt. Das ist ja gerade das interessante/zumindest eine interessante Sache bei den komplexen Zahlen:
[mm] $\IC$ [/mm] ist (mit der dort definierten Addition und Multiplikation) ein Körper (siehe Körperaxiome). Ein Unterschied zu [mm] $\IR$ [/mm] ist, dass es komplexe Zahlen gibt, deren Quadrat $< 0$ ist. Ein weiterer Unterschied zu [mm] $\IR$ [/mm] ist, dass man [mm] $\IC$ [/mm] nicht anordnen kann.
Weil nun $i²=-1$ gilt (insbesondere gilt [mm] $i\not=0$), [/mm] folgt, wie von Cremchen schon geschrieben:
[m]\frac{1}{5i}=\frac{\overbrace{(-1)}^{=i²}}{\underbrace{(-1)}_{=i²}*5i}
=\frac{i*\red{i}}{-5*\red{i}}=-\frac{i}{5}=-\frac{1}{5}i[/m].
(Die Zahl $i [mm] (\in \IC)$ [/mm] heißt übrigens imaginäre Einheit.)
Übrigens: Alternativ kannst du natürlich auch den Bruch mit $i$ erweitern, und gelangst zum gleichen Ergebnis (wäre ja auch noch schöner, wenn das nicht so wäre  ):
[mm] $\frac{1}{5i}=\frac{\blue{i}}{5i*\blue{i}}=\frac{i}{5\underbrace{(i²)}_{=-1}}=\frac{i}{-5}=-\frac{i}{5}=-\frac{1}{5}i$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:40 Di 26.10.2004 | | Autor: | ossywest |
Also ich darf dann für mich zur Kontrolle nicht eine Zahl für i einsetzten um zu sehen ob ich für z nach der umformung auch noch das gleiche Ergebnis bekomme?
Habe es ausprobiert und es kommen unterschiedliche raus, aber wie so. Die Formel ist doch nur umgestellt worden?
MfG
ossywest
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Du verwechselst das immernoch mit einer Formel, die man nach irgendwas umstellen kann. Kann man hier aber nicht. Schau dir nochmal an, was Marcel geschrieben hat: bei den komplexen Zahlen ist das [mm] i[/mm] keine Variable! Das heißt, man kann dafür nicht irgendwas einsetzen. So komisch es klingt, aber das [mm] i[/mm] ist eine Zahl. Die komplexen Zahlen schreiben sich als Mischung aus den 'normalen' Zahlen aus [mm] \IR [/mm] und dieser sog. imaginären Einheit [mm] i[/mm], was auch wieder nur ne Zahl darstellt. Wahrscheinlich ist eine Zahl, für die gilt: [mm] i^2=-1[/mm] anfangs ein wenig gewöhnungsbedürftig, is aber so.
Und: du sprichst hier immer von einer Formel. Hier gibt es keine Formel. Wenn eine komplexe Zahl gegeben ist, z.B. [mm] z=2-i [/mm], dann ist das keine Formel, die man umstellen kann. Zum Vergleich: wenn du in der 9. Klasse eine Gleichung gelöst hast, und es kam [mm] x= \bruch{3}{4} [/mm]bei raus, dann war das auch keine Formel! Dieses [mm] z=2-i [/mm]von oben ist eine komplexe Zahl, die du in der komplexen Zahlenebene einzeichnen kannst, und die in dieser Ebene eine bestimmte Richtung und Länge hat.
Ist der Unterschied zwischen komplexen Zahlen und Formeln jetzt ein wenig klar geworden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:01 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Nochmals hallo,
> Also ich darf dann für mich zur Kontrolle nicht eine Zahl
> für i einsetzten um zu sehen ob ich für z nach der
> umformung auch noch das gleiche Ergebnis bekomme?
Ich möchte e.Kandrais Antwort jetzt doch noch ergänzen; ich dachte eigentlich, dass es da nichts mehr zu ergänzen gibt, aber nun gut:
Nein, du darfst für $i$ keine reelle Zahl zur Kontrolle einsetzen. Bei der Rechnung wurde ja ausgenutzt, dass $i²=-1$ gilt. Du wirst aber keine reelle Zahl finden, deren Quadrat $=-1$ ist, denn es gilt ja für alle [m]t \in \IR[/m]: $t² [mm] \ge [/mm] 0$.
(Und nochmal zur Erinnerung: i ist ja eh keine Variable, sondern eine feste komplexe Zahl mit der Eigenschaft: $i²=-1$.)
> Habe es ausprobiert und es kommen unterschiedliche raus,
> aber wie so. Die Formel ist doch nur umgestellt worden?
Wie gesagt, es wurde auch die Eigenschaft, dass $i²=-1$ gilt, ausgenutzt. Alles andere wurde schon von e.kandrai (und mir) dazu gesagt...
Liebe Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Mo 25.10.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo!
ich bin zwar kein Experte in Sachen komplexe Zahlen, aber wie isses denn damit:
z= [mm] \bruch{1}{5i} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)*i^{2}}{5i} [/mm] = [mm] \bruch{-i}{5}
[/mm]
und dann hättest du mit r=0 und s= - [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
z= - [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * i
Ich hoffe ich konnt dir weiterhelfen!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Di 26.10.2004 | | Autor: | ossywest |
Hallo zusammen,
danke für eure vielen antworten.
Bei dem Ende der Zormel, wenn ich dann z berechnen soll, was kann ich den dann für i einsetzten?
MfG
ossywest!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:45 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo ossywest,
> Hallo zusammen,
>
> danke für eure vielen antworten.
>
> Bei dem Ende der Zormel, wenn ich dann z berechnen soll,
> was kann ich den dann für i einsetzten?
Nimm es mir nicht übel, aber wie oft haben wir dir hier nun schon gesagt, dass $i$ keine Variable ist, sondern eine feste komplexe Zahl, die auch als imaginäre Einheit bezeichnet wird (mit der Eigenschaft: [mm] $i^2=-1$). [/mm]
Liest du denn unsere Antworten überhaupt? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ich hoffe, dass meine Reaktion überflüssig war, und du eigentlich folgendes wissen wolltest:
Wenn [mm] $z=\frac{1}{5i}$ [/mm] in der Darstellung [mm] $z=\blue{r}+\red{s}*i$ [/mm] angegeben werden soll, welchen Wert hat dann das [mm] $\blue{r}$ [/mm] und welchen Wert hat dann das [mm] $\red{s}$?
[/mm]
Wenn das deine Frage gewesen sein sollte, dann beantworte ich sie dir noch gerne:
Die Rechnung hat doch gezeigt:
[mm] $\frac{1}{5i}=-\frac{1}{5}i=\blue{0}+\red{\left(-\frac{1}{5}\right)}i$, [/mm] mit anderen Worten:
Hier ist $r=0$ und [mm] $s=-\frac{1}{5}$.
[/mm]
Wenn deine Frage allerdings genauso gemeint war, wie du sie formuliert hast, so kann ich dir nur empfehlen, die Antworten nochmals durchzulesen. Du sollst dann nicht einfach nur einen flüchtigen Blick drauf werfen, sondern wirklich: Intensiv lesen ![[read]](/images/smileys/read.gif "[read]") (und über das gelesene Nachdenken!).
Liebe Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:15 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
in meiner letzten Antwort habe ich dir das $r$ und das $s$ angegeben. Wenn eine komplexe Zahl in der Darstellung $z=r+s*i$ angegeben wird, so berechnet sich $|z|$ wie folgt:
[mm] $|z|=\wurzel{r^2+s^2}$.
[/mm]
Damit (und mit meiner letzten Antwort, wo ich dir $r$ und $s$ deiner komplexen Zahl angegeben habe) solltest du in der Lage sein, [m]\begin{vmatrix} \frac{1}{5i}\end{vmatrix}[/m] auszurechnen.
Ich hatte dir übrigens auch einen Link gepostet (oben, in: Geometrie der kompl. Zahlen), wo auch drinsteht, wie der Betrag einer komplexen Zahl berechnet wird...
Liebe Grüße,
Marcel
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://www.keilbach.onlinehome.de/mathe/m12/komplex3.html![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]"){kind=small}
. Mach's gut! 