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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | Zeigen sie: Für z [mm] \in \IC [/mm] , v [mm] \in \IN [/mm] gilt
[mm] \vektor{z\\v}+ \vektor{z\\v-1} [/mm] = [mm] \vektor{z+1\\v} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mein Versuch:
[mm] \vektor{z\\v-1} +\vektor{z\\v} [/mm] = z!/(v-1)!(z-v+1)! + z!/v!(z-v)! = z!/v!(z+1-v)! {v!/(v-1)! + (z+1-v)!/(z-v)!} = z!/v!(z+1-v)! {v+(z+1-v)} = (z+1)!/v!(z+1-v)! = [mm] \vektor{z+1\\v}
[/mm]
weiß jemand ob das so korrekt ist oder hat jemand einen anderen Vorschlag?
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Dein Weg wäre gut und richtig, wenn [mm] z\in\IN.
[/mm]
Die ![[]](/images/popup.gif) verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind allerdings etwas anders definiert, so dass Du nicht mit Termen wie [mm] \bruch{z!}{v!(z-v)!} [/mm] rechnen kannst.
Im übrigen bitte ich Dich, den Formeleditor zu benutzen. Er ist nicht schwer zu bedienen, und man kann viel leichter nachvollziehen, was Du da eigentlich rechnest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
ok das hatte ich mir schon fast gedacht aber ich habe keine Ahnung wie ich sonst an die Sache herangehen sollte. Mit dem [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] komm ich überhaupt nicht zurecht!
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Ich schreib Dir mal den Rechenweg komplett auf, einmal mit Fortsetzungpünktchen "...", einmal mit dem großen Pi, also dem Produktzeichen. Das tun wir hier meistens nicht (komplett aufschreiben), aber ich sehe gerade keinen Weg, es anders zu erklären. Du kommst trotzdem danach hoffentlich besser mit dem Produktzeichen zurecht, es ist ja eigentlich nichts anderes als das Summenzeichen, nur eben nicht für die Addition der einzelnen Glieder, sondern für deren Multiplikation.
Here we go:
I) Definition des erweiterten Binomialkoeffizienten
Für [mm] \alpha\in\IC, k\in\IN_0 [/mm] ist [mm] \vektor{\alpha \\ k}=\bruch{\alpha*(\alpha-1)*(\alpha-2)*\cdots*(\alpha-(k-2))*(\alpha-(k-1))}{k!}=\produkt_{i=1}^{k}\bruch{\alpha-(i-1)}{i}
[/mm]
II) Rechnung ohne Produktzeichen
[mm] \begin{matrix} \vektor{z \\ v}+\vektor{z \\ v-1} & = & \overbrace{\bruch{z*(z-1)*\cdots*(z-(v-2))*(z-(v-1))}{v!}}^{aus Definition}+\overbrace{\bruch{z*(z-1)*\cdots*(z-(v-3))*(z-(v-2))}{(v-1)!}}^{aus Definition}*\overbrace{\bruch{v}{v} }^{erweitert} \\
\ & = & \overbrace{\bruch{z*(z-1)*\cdots*(z-(v-3))*(z-(v-2))}{v!}}^{ausgeklammert}*(z-(v-1)+v) \\
\
& = & \bruch{\overbrace{(z+1)}^{=(z-(v-1)+v)}*\overbrace{z*(z-1)\cdots*(z-(v-3))*(z-(v-2))}^{ausgeklammerter Teil}}{v!} = \vektor{z+1 \\ v}
\end{matrix}
[/mm]
Soweit klar? Dann noch
III) Rechnung mit Produktzeichen
[mm] \begin{matrix} \vektor{z \\ v}+\vektor{z \\ v-1} & = & \produkt_{i=1}^{v}\bruch{z-(i-1)}{i}+\produkt_{i=1}^{v-1}\bruch{z-(i-1)}{i} \\
\ & = & \bruch{1}{v!}*\produkt_{i=1}^{v}(z-(i-1))+\bruch{1}{(v-1)!}*\bruch{v}{v}*\produkt_{i=1}^{v-1}(z-(i-1)) \\
\ & = & (z-(v-1)+v)*\bruch{1}{v!}*\produkt_{i=1}^{v-1}(z-(i-1))=\bruch{z+1}{v}*\produkt_{i=1}^{v-1}\bruch{(z-(i-1))}{i} \\
\ & = & \produkt_{i=1}^{v}\bruch{((z+1)-(i-1))}{i} = \vektor{z+1 \\ v}
\end{matrix}
[/mm]
Liebe Grüße,
reverend
PS: Lange getippt. Hoffentlich ohne Tippfehler...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
Hallo reverend,
danke für deine Mühe ich hab es jetztverstanden ist ja eigentlich nicht schwer , hab immer nur Probleme einen Anfang zu finden und den dann richtig uszuführen! Dankeschön!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 21.11.2008 | | Autor: | reverend |
Freut mich, gern geschehen.
Ich betrachte das im Moment eher als Fingerübungen mit dem Formeleditor. So mit Erläuterungsklammern und Schnickschnack wird es dann im Quelltext doch irgendwann unübersichtlich...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 So 23.11.2008 | | Autor: | Fox85 |
Hallo, ich beschäftige mich mit einem ähnlichen Problem und habe zu Deiner Antwort folgende grundsätzliche Frage:
Woher kommt hier die Gleichheit, welche Regel wende ich an, um das (z+1) in das Produkt zu ziehen?
Hier nochmal im Kontext:
[mm] \bruch{z+1}{v}*\produkt_{i=1}^{v-1}\bruch{(z-(i-1))}{i} \\
[/mm]
= [mm] \produkt_{i=1}^{v}\bruch{((z+1)-(i-1))}{i} [/mm]
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Schau nochmal in meine Rechnung. Sie steht ja ausgeschrieben und in Produktschreibweise da, mit den gleichen Rechenschritten. Mir fällt gerade nicht ein, wie ich es anschaulicher erklären sollte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 So 23.11.2008 | | Autor: | Fox85 |
Jawohl, mir ist es gerade klar geworden. Es wird keine Regel angewandt sondern es findet ja im Prinzip nur eine Verschiebung der Faktoren statt. Danke trotzdem für deine prompte Antwort!
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