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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 So 26.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Es sei w=a+ib [mm] \in \IC [/mm] mit a,b [mm] \in \IR. [/mm] Stellen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung [mm] z^2=w [/mm] in Abhängigkeit von a und b dar. |
Hallo!
Könnt ihr mir weiterhelfen?
Es gilt: w=a+ib
[mm] z^2= [/mm] w [mm] \gdw z^2=a+ib \gdw z=\sqrt(a+ib) [/mm]
Nun fehlt mir ne Idee, wie ich hier weiter vorgehen kann....
Bitte um Hilfe! Danke und Grüße
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> Es sei w=a+ib [mm]\in \IC[/mm] mit a,b [mm]\in \IR.[/mm] Stellen Sie alle
> Lösungen der quadratischen Gleichung [mm]z^2=w[/mm] in Abhängigkeit
> von a und b dar.
>
> Es gilt: w=a+ib
>
> [mm]z^2=[/mm] w [mm]\gdw z^2=a+ib \gdw z=\sqrt{a+ib}[/mm]
>
> Nun fehlt mir ne Idee, wie ich hier weiter vorgehen
> kann....
Hallo Bodo,
Wenn du in rechtwinkligen Koordinaten rechnen willst,
empfiehlt es sich, $\ z=u+i*v$ zu setzen, diese Gleichung
zu quadrieren und dann den entstehenden Realteil gleich a,
den Imaginärteil gleich b zu setzen. So kommst du auf ein
reelles Gleichungssystem für u und v.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 So 26.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also meinst du das so?
z=u+iv -> quadrieren -> [mm] (u+iv)^2 [/mm] = [mm] u^2+i2uv [/mm] + [mm] i^2v^2 [/mm] -> [mm] i^2=-1
[/mm]
[mm] u^2+i2uv-v^2
[/mm]
-> [mm] a=u^2-v^2
[/mm]
->b=i2uv
Grüße
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> z=u+iv -> quadrieren -> [mm](u+iv)^2[/mm] = [mm]u^2+i2uv[/mm] + [mm]i^2v^2[/mm] ->
> [mm]i^2=-1[/mm]
> [mm]u^2+i2uv-v^2[/mm]
>
> -> [mm]a=u^2-v^2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ->b=i2uv ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
b ist reell ! $\ b=2*u*v$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 So 26.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
ok! Danke für den Hinweis!
Jetzt kann ich doch
a= [mm] u^2 [/mm] - [mm] v^2 [/mm] und b= 2uv gleichsetzen und nach u und v auflösen?
Also:
a=b [mm] \gdw u^2-v^2 [/mm] = 2uv -> [mm] u=\sqrt(2uv [/mm] + [mm] v^2) [/mm] und [mm] v=\sqrt(2uv-u^2)
[/mm]
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> Hallo,
>
> ok! Danke für den Hinweis!
>
> Jetzt kann ich doch
>
> a= [mm]u^2[/mm] - [mm]v^2[/mm] und b= 2uv gleichsetzen und nach u und v
> auflösen?
> Also:
>
> a=b [mm]\gdw u^2-v^2[/mm] = 2uv -> [mm]u=\sqrt(2uv[/mm] + [mm]v^2)[/mm] und
> [mm]v=\sqrt(2uv-u^2)[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") warumshimmelswillen denn a=b ???
Löse die zweite Gleichung z.B. nach v auf und
setze in die erste ein. Dann hast du eine quadratische
Gleichung für [mm] u^2.
[/mm]
Noch ein Hinweis zu TeX: benütze bei sqrt nicht runde,
sondern geschweifte Klammern !
Und: du könntest mit deutlich weniger [mm] auskommen !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 So 26.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
OK!
b=2uv [mm] \gdw v=\frac{b}{2u} [/mm]
[mm] a=u^2-v^2 \gdw a=u^2 [/mm] - [mm] \frac{b^2}{4u^2} \gdw u^2=a+\frac{b^2}{4u^2} \gdw u=\sqrt{a}+\frac{b}{2u}
[/mm]
So müsste es aber stimmen
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 So 26.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Gleichung in der links und rechts u vorkommt gibt keine darstellung von u.
das ist wenn du etwa [mm] x^2-2x+1=0 [/mm] folgerst [mm] x=\wurzel{2x-1}
[/mm]
das ist zwar nicht falsch, aber auch recht sinnlos.
Hattet ihr die Darstellung [mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] damit geht das einfacher.
Aber du solltest auch so das richtige Ergebnis finden.
Gruss leduart
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> OK!
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> b=2uv [mm]\gdw v=\frac{b}{2u}[/mm]
> [mm]a=u^2-v^2 \gdw a=u^2[/mm] - [mm]\frac{b^2}{4u^2} \gdw u^2=a+\frac{b^2}{4u^2} \gdw u=\sqrt{a}+\frac{b}{2u}[/mm]
>
> So müsste es aber stimmen
Dein letztes [mm] \gdw [/mm] stimmt natürlich nicht !
Substituiere in der Gleichung $\ [mm] a=u^2-\frac{b^2}{4u^2}$
[/mm]
[mm] Q:=u^2 [/mm] und löse die entstehende Gleichung nach Q auf !
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also [mm] Q:=u^2
[/mm]
[mm] a=u^2-\frac{b^2}{4u^2}
[/mm]
a=Q - [mm] \frac{b^2}{4Q}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a+ [mm] \frac{b^2}{4Q} [/mm] =Q / * 4Q
[mm] \gdw [/mm] 4Qa [mm] +b^2 [/mm] = [mm] 4Q^2
[/mm]
[mm] \gdw 4Q^2 [/mm] - 4Qa = [mm] b^2 [/mm]
[mm] \gdw [/mm] Q(4Q - [mm] 4a)=b^2
[/mm]
[mm] \gdw Q=\frac{b^2}{4Q-4a}
[/mm]
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
hallo,
also
[mm] 4Q^2-4Qa [/mm] = [mm] b^2
[/mm]
= [mm] Q^2-Qa-\frac{b^2}{4} [/mm] = 0
Nach P-Q Formel
[mm] \frac{Qa}{2} \pm \sqrt{\frac{Qa^2}{4} + \frac{b^2}{4}}
[/mm]
[mm] \gdw \frac{Qa}{2} \pm \sqrt{\frac{Qa^2 +b^2}{4}}
[/mm]
[mm] \gdw \frac{Qa}{2} \pm {\frac{a\sqrt{Q}+b}{2}}
[/mm]
stimmt es bis hierhin?
Grüße
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Hallo Bodo!
Nein, das stimmt überhaupt nicht. Bitte sieh Dir die Anwendung der  p/q-Formel an!
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hallo,
$ \frac{Qa}{2} \pm \sqrt{\frac{Q^2a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} $
$ \frac{Qa}{2} \pm \frac{Qa}{2} + \frac{b}{2}} $
x_1= $ \frac{Qa}{2} + \frac{Qa}{2} + \frac{b}{2}} $ = Qa+\frac{b}{2}
x_2= $ \frac{Qa}{2} - \frac{Qa}{2} + \frac{b}{2}} $ = \frac{b}{2}
grüße
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Hallo Bodo,
das stimmt auch nicht.
> Hallo,
>
> [mm]\frac{Qa}{2} \pm \sqrt{\frac{Q^2a^2}{4} + \frac{b^2}{4}}[/mm]
Du nutzt die p/q-Formel doch, um nach Q aufzulösen. Es kommt daher auf der rechten Seite der Gleichung nicht mehr vor.
Richtig wäre [mm] Q_{1/2}=\bruch{a}{2}\pm \cdots
[/mm]
> [mm]\frac{Qa}{2} \pm \frac{Qa}{2} + \frac{b}{2}}[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ein neuer Zaubertrick? Das Wurzel-Verschwindenlass-Spiel? Eine mathematische Äquivalenzumformung ist es jedenfalls nicht!
Grüße
reverend
> [mm]x_1=[/mm] [mm]\frac{Qa}{2} + \frac{Qa}{2} + \frac{b}{2}}[/mm] =
> [mm]Qa+\frac{b}{2}[/mm]
>
> [mm]x_2=[/mm] [mm]\frac{Qa}{2} - \frac{Qa}{2} + \frac{b}{2}}[/mm] =
> [mm]\frac{b}{2}[/mm]
> grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
$ [mm] Q^2-Qa-\frac{b^2}{4} [/mm] $=0
p= a
q= [mm] \frac{b^2}{4}
[/mm]
[mm] x_{1,2} [/mm] = $ [mm] \frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} [/mm] $
[mm] x_{1,2} [/mm] = $ [mm] \frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4} } [/mm] $
[mm] x_{1,2} [/mm] = $ [mm] \frac{a}{2} \pm {\frac{a+b}{2} } [/mm] $
[mm] x_1= \frac{a}{2} [/mm] + [mm] \frac{a}{2} [/mm] + [mm] \frac{b}{2} [/mm] = a [mm] +\frac{b}{2}
[/mm]
[mm] x_2= \frac{a}{2} [/mm] - [mm] \frac{a}{2} [/mm] + [mm] \frac{b}{2} [/mm] = [mm] \frac{b}{2}
[/mm]
grüße
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Hallo Bodo!
> [mm]Q^2-Qa-\frac{b^2}{4} [/mm]=0
>
> p= a
> q= [mm]\frac{b^2}{4}[/mm]
Da gehört jeweils das Minuszeichen hinzu ...
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}}[/mm]
>
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4} }[/mm]
Bis hierher stimmt es ...
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\frac{a}{2} \pm {\frac{a+b}{2} }[/mm]
... aber hier dreht sich mir nicht nur der Magen um. ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Seit wann dürfen wir denn aus einer Summe einzeln die Wurzel ziehen?
Gruß vm
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
[mm] x_{1,2}=$ \frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4} } [/mm] $
[mm] x_1= \frac{a}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4} }
[/mm]
[mm] x_2= \frac{a}{2} [/mm] - [mm] \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4} }
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok,
nicht richtig überlegt... 
wie muss ich jetzt hier weitermachen?
Grüße
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> wie muss ich jetzt hier weitermachen?
Nun, jetzt kommt die Rücksubstitution.
Die Lösungen der quadratischen Gleichung stehen ja
eigentlich für Q , und Q war eine Substitution für [mm] u^2.
[/mm]
Weil u reell sein muss, kommt für Q nur eine nicht-
negative Zahl in Frage.
Wenn du dann die möglichen Werte für u dargestellt
hast, bleiben die zugehörigen v-Werte zu ermitteln.
Und dann bist du am Ziel mit
[mm] z_1=u_1+i*v_1=..... [/mm]
[mm] z_2=u_2+i*v_2=.....
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
also muss ich jetzt
a durch [mm] u^2-v^2 [/mm] und
b durch [mm] \frac{b}{2u} [/mm] ersetzen?
Grüße
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> also muss ich jetzt
>
> a durch [mm]u^2-v^2[/mm] und
> b durch [mm]\frac{b}{2u}[/mm] ersetzen?
Nein. a und b sind ja die gegebenen Größen.
Prüfe jetzt, welche der beiden Lösungen der
quadratischen Gleichung überhaupt in Frage
kommt. Das ist dann der Wert (bzw. Term)
für Q .
Dann ist [mm] u_1=\wurzel{Q}= [/mm] ........ (durch a und b ausdrücken !)
und [mm] u_2=-u_1= [/mm] ........
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Also dürfte ja [mm] \sqrt{Q}=\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{4} [/mm] sein, da dieser Term auf jeden Fall größer als 0 ist. Wir suchen ja einen Term der nicht negativ wird.
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Hallo Bodo,
das ist zwar richtig gedacht, aber schlampig aufgeschrieben.
Du hattest herausbekommen: [mm] Q_1=\bruch{a}{2}+\wurzel{\bruch{a^2+b^2}{4}}
[/mm]
In der Tat gilt [mm] Q_1 \ge0
[/mm]
Trotzdem ist das, was Du schreibst, Unsinn. Überleg nochmal, wo Du eigentlich mit Deiner Rechnung hinwillst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Ich brauche die enstsprechenden Werte, damit man
[mm] z_1=u_1*iv_1 [/mm] und [mm] z_2=u_2*iv_2 [/mm] darstellen kann...
Also benötige ich [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2
[/mm]
Wir hatten ja vorher [mm] Q=u^2 [/mm] gesetzt.
u wäre ja jetzt [mm] \sqrt{Q}, [/mm]
also [mm] u=\sqrt{Q} [/mm] * [mm] iv_1 [/mm]
Q waren doch meine beiden Lösungen der quadratischen Gleichung...
[mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] muss ich erst noch bestimmen, allerdings fehlt mir momentan ne passende Idee...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Bei manchen ist eben alles im Leben linear .....
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mo 27.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Bodo
Du hast ganz offensichtlich vergessen, wie man quadratische Gleichungen loest.
1. Versuch: in der Schule steht das immer mit x, also nenn dein Q x und versuchs noch mal.
2. Versuch:
die loesung hat die Form Q=A [mm] \pm \wurzel{B}
[/mm]
dabei darf natuerlich in A und B kein Q vorkommen, wenn die Unbekannte x heisst kein x.
3. Versuch:
was ist die Loesung von [mm] x^2+px+q=0
[/mm]
4. Versuch: weisst du was quadratische Ergaenzung ist.
Eines der vielen Vorschlaege sollte zum Ziel fuehren.
(bevor du dich mit kompl. Zahlen rumschlaegst, solltest du dringend den Umgang mit einfachen Gleichungen mit reellen Zahlen ueben.)
Du hast nicht auf die Frage geantwortet, ob du die Darstellung [mm] a+ib=r*e^{i\phi} [/mm] kennst und von der einen in die andere Form umrechnen kannst. dann waere alles viel einfacher.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
quadratische Ergänzung kenn ich. Die Darstellung von a+ib= [mm] e*r^{i\phi} [/mm] kenn ich auch, ich find das aber zu kompliziert... bzw. müsste ich hier den Winkel und r bestimmen... da tu ich mich schwer....
P-Q-Formel aus der Schule kenn ich selbstverständlich.
Die P-Q Formel ermittelt mir von der Darstellung [mm] x^2 [/mm] + px +q = 0 die Nullstellen des Polynoms...
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Mo 27.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du die pq formel kennst, warum kannst du sie nicht auf die Gleichung mit Q anwenden? folg meinem Rat und nenn das Q x, wie von der Schule gewohnt, dann siehst du, was du immer falsch gemacht hast. Aber eigentlich sollte es egal sein, ob die Unbekannte x oder Q lautet.
Der Weg ueber [mm] r,\phi [/mm] ist sicher schneller, ausserdem brauchst du ihn sowieso demnaechst, wenn so Aufgaben wie [mm] z^8=i [/mm]
oder aehnliche auftauchen.
wenn du dir klarmachst, dass wenn du ne Zahl z in der Gaussschen Zahlenebene eintraegst [mm] \phi [/mm] der Winkel zur x-Achse, r die laenge des pfeils zu z ist, ist das auch wirklich einfach.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Di 28.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Was müsste ich denn jetzt machen, wenn ich von deiner Darstellung ausgehe mit a+ib = [mm] r*e^{i\phi}
[/mm]
Es gilt doch [mm] z^n=[r(cos\phi [/mm] + i [mm] sin\phi)]^n=1
[/mm]
Für r=1 gilt [mm] n\phi [/mm] = k*360°
-> [mm] z_k [/mm] = [mm] cos(\frac{k*360°}{n}) [/mm] + [mm] isin(\frac{k*360°}{n})
[/mm]
... grüße
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> Was müsste ich denn jetzt machen, wenn ich von deiner
> Darstellung ausgehe mit a+ib = [mm]r*e^{i\phi}[/mm]
Hallo Bodo,
du willst ja die Lösungen der Gleichung [mm] z^2=w=a+i*b
[/mm]
Setze [mm] z:=s*e^{i*\alpha}
[/mm]
Dann ist $\ [mm] z^2=\left(s*e^{i*\alpha}\right)^2=\,......\,=\ r*e^{i\phi}$
[/mm]
Durch Vergleich der Beträge und der Argumente (Winkel)
lassen sich [mm] s=|z_i| [/mm] und [mm] \alpha_i=arg(z_i) [/mm] (i=1,2) leicht bestimmen.
Zum Schluss wäre es interessant, die auf den verschiedenen
Wegen (kartesisch, polar) gewonnenen Ergebnisse mitein-
ander zu vergleichen. Da müssten eigentlich Halbwinkelformeln
herausspringen.
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Di 28.04.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo also,
[mm] z^2=w=a+ib
[/mm]
[mm] s=|z_i|=\sqrt{a^2+b^2}
[/mm]
[mm] arg(z_i)=tan\frac{Im(z)}{Re(z)} [/mm] =tan [mm] \frac{b}{a} =tan(\phi)
[/mm]
$ \ [mm] z^2=\left(s\cdot{}e^{i\cdot{}\alpha}\right)^2=\,......\,=\ r\cdot{}e^{i\phi} [/mm] $
[mm] z^2=(s*e^{i\phi})^2=(\sqrt{a^2+b^2}*e^{i\phi})^2 [/mm] = [mm] r*e^{i\phi}
[/mm]
...
so ganz blicke ich da nicht durch...
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> Hallo also,
>
> [mm]z^2=w=a+ib[/mm]
>
> [mm]s=|z_i|=\sqrt{a^2+b^2}[/mm]
das stimmt so nicht, sondern:
[mm] |w|=|z^2|=r=\sqrt{a^2+b^2}
[/mm]
[mm] |z|=s=\sqrt{r}=\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}}
[/mm]
> [mm]arg(z_i)=tan\frac{Im(z)}{Re(z)}[/mm] =tan [mm]\frac{b}{a} =tan(\phi)[/mm]
richtig: [mm] tan(arg(z_i))=\bruch{Im(z_i)}{Re(z_i)}
[/mm]
[mm] tan(\phi)=\bruch{b}{a}
[/mm]
>
> [mm]\ z^2=\left(s\cdot{}e^{i\cdot{}\alpha}\right)^2=\,......\,=\ r\cdot{}e^{i\phi}[/mm]
>
> [mm]z^2=(s*e^{i\phi})^2=(\sqrt{a^2+b^2}*e^{i\phi})^2[/mm] =
> [mm]r*e^{i\phi}[/mm]
> ...
>
> so ganz blicke ich da nicht durch...
Es ist $\ [mm] z^2\ [/mm] =\ [mm] \left(s*e^{i\alpha}\right)^2\ [/mm] =\ [mm] s^2*e^{i*2\alpha}\ [/mm] =\ [mm] r*e^{i\phi}$
[/mm]
Daraus kann man schliessen, dass [mm] s=\wurzel{r} [/mm]
(siehe oben), und ferner, dass
[mm] \alpha=\phi/2 [/mm] bzw. [mm] \alpha=\phi/2+\pi
[/mm]
Nach all den Mühen wäre es meiner Meinung nach
sinnvoll, mal ein konkretes Beispiel auf die beiden
Arten durchzurechnen. Konstruieren wir eines, das
eine schöne Lösung hat, indem wir von dieser
ausgehen: Sei $\ z=4+3*i$ . Dann haben wir
[mm] z^2=(4+3*i)^2=16-9+2*4*3*i=7+24*i=w
[/mm]
Für die kartesische Rechnung also:
$\ w=7+24*i$ $\ a=7$ $\ b=24$
Für die Rechnung in Polarkoordinaten:
[mm] w=r*(cos(\phi)+i*sin(\phi))=r*e^{i*\phi}
[/mm]
wobei
[mm] r=|w|=\sqrt{7^2+24^2}=25\qquad\qquad\phi=arctan(24/7)\approx73.74°
[/mm]
Gruß Al-Ch.
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