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| Aufgabe | Sei [mm] r\ge0. [/mm] Wie heißt die Polarform der Zahl
z= -r(cos [mm] (\lambda)+j [/mm] sin [mm] (\lambda)) [/mm] |
Hallo,
ich soll also die gegebene Zahl in die Form [mm] z=r*e^j [/mm] bringen.
Mein Ansatz:
[mm] \vmat{ z} [/mm] = r
und dann sollte das Ergebnis meiner Meinung nach erst mal so aussehen:
[mm] z=r*e^{j\lambda}
[/mm]
Dann muss ich ja noch überprüfen in welchem Quadranten die Zahl liegt, damit ich weiß, ob ich zu dem Winkel noch [mm] \pi [/mm] addieren oder subtrahieren muss. Dass hab ich so gemacht:
Realteil = [mm] -r*cos\lambda \Rightarrow [/mm] negativ
Imaginärteil = [mm] -r*sin\lambda \Rightarrow [/mm] negativ
Wenn Real- und Imaginärteil negativ sind, liegt die Zahl doch im 3. Quadranten, was bedeutet das ich [mm] \pi [/mm] subtrahieren muss.
Mein Endergebnis ist also [mm] z=r*e^{j\lambda-\pi}
[/mm]
Das Ergebnis soll aber laut Lösung so aussehen:
[mm] z=r*e^{j\lambda+\pi} [/mm] (hier wird [mm] \pi [/mm] addiert)
Da ich die Erfahrung gemacht habe, das der Prof meistens Recht hat muss ich ja irgendwo einen Fehler gemacht haben  , aber wo???
Gruß
Markus
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Moin Markus,
> Sei [mm]r\ge0.[/mm] Wie heißt die Polarform der Zahl
> z= -r(cos [mm](\lambda)+j[/mm] sin [mm](\lambda))[/mm]
> Hallo,
> ich soll also die gegebene Zahl in die Form [mm]z=r*e^j[/mm]
> bringen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Mein Ansatz:
> [mm]\vmat{ z}[/mm] = r
> und dann sollte das Ergebnis meiner Meinung nach erst mal
> so aussehen:
> [mm]z=r*e^{j\lambda}[/mm]
Was heißt denn "erst mal"? Das wäre das richtige Ergebnis, wenn gegeben wäre [mm] z=\blue{+} r(\cos{\lambda}+j\sin{\lambda})
[/mm]
Nun steht da aber statt des blauen Plus vorweg ein Minus!
> Dann muss ich ja noch überprüfen in welchem Quadranten
> die Zahl liegt, damit ich weiß, ob ich zu dem Winkel noch
> [mm]\pi[/mm] addieren oder subtrahieren muss. Dass hab ich so
> gemacht:
> Realteil = [mm]-r*cos\lambda \Rightarrow[/mm] negativ
> Imaginärteil = [mm]-r*sin\lambda \Rightarrow[/mm] negativ
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Woher weißt Du denn, ob [mm] \cos{\lambda} [/mm] oder [mm] \sin{\lambda} [/mm] selbst positiv oder negativ sind? Das ist ja nicht gegeben. Vielleicht liegt es aber auch nur an Deiner Formulierung, denn es geht Dir ja um die Frage, ob Du "zu dem Winkel noch [mm] \pi [/mm] addieren oder subtrahieren" musst.
> Wenn Real- und Imaginärteil negativ sind, liegt die Zahl
> doch im 3. Quadranten, was bedeutet das ich [mm]\pi[/mm]
> subtrahieren muss.
In welchem Quadranten die Zahl liegt, hängt von [mm] \lambda [/mm] ab. Es kann jeder Quadrant sein. Allerdings ist die Vorzeichenumkehrung der Zahl in der Tat durch eine Verschiebung des Winkels um [mm] \pi [/mm] darstellbar.
Dabei gilt:
[mm] \cos{(\lambda+\pi)}=-\cos{\lambda}=\cos{(\lambda-\pi)},\quad \sin{(\lambda+\pi)}=-\sin{\lambda}=\sin{(\lambda-\pi)}
[/mm]
> Mein Endergebnis ist also [mm]z=r*e^{j\red{(}\lambda-\pi\red{)}}[/mm]
Da fehlen Klammern!
> Das Ergebnis soll aber laut Lösung so aussehen:
> [mm]z=r*e^{j\red{(}\lambda+\pi\red{)}}[/mm] (hier wird [mm]\pi[/mm] addiert)
(und hier auch...)
> Da ich die Erfahrung gemacht habe, das der Prof meistens
> Recht hat muss ich ja irgendwo einen Fehler gemacht haben
> , aber wo???
Nur in der Korrektheit der Formulierung Deiner Vorgehensweise liegt noch ein Fehler. Das Ergebnis ist richtig, denn es gilt:
[mm] z=r*e^{j(\lambda-\pi)}=r*e^{j(\lambda+\pi)}
[/mm]
oder allgemeiner [mm] z=r*e^{j\varphi}=r*e^{j(\varphi+2\pi)}
[/mm]
Man könnte anschaulich auch sagen: es ist doch egal, ob Du einen halben Kreis weit links- oder rechtsherum läufst, Hauptsache, Du kommst genau gegenüber vom Ausgangspunkt an.
> Gruß
> Markus
lg
reverend
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