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| Aufgabe | Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil, den Betrag sowie die konjugiert-komplexe Zahl zu:
a) 1/(1+i)
b) (2-i)/(2+i)
c) (3+i)/(1+2i)
d) [mm] (2+i)^{n}, [/mm] n [mm] \in \IZ
[/mm]
e) [mm] ((1-i)/(1+i))^{n}, [/mm] n [mm] \in \IZ [/mm] |
Hallo!
An sich dürfte die Aufgabe kein Problem sein, und bei a-c ist das auch so. Ich erweitere einfach und bekomme so die schöne Form z=a+b*i von der man sozusagen alles ablesen kann.
Aber bei d) und e) komme ich nicht wirklich weiter.
Kann man auch erst das Innere der Klammer umformen, so wie die anderen, bis man eine schöne Form hat und dann damit weiter arbeiten?
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Das wäre toll!
Grüßle
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Hallo,
was passiert mit einer komplexen Zahl, wenn man sie mit einer reellen zahl potenziert? Konkret: was passiert hier beim Potenzieren mit Betrag und Argument der Zahl?
Nutze diese Erkenntnis mal zunächst für Augabe d) geschickt aus. Berechne hierfür zunächst Betrag und Argument (Berechnen ist hier schon fast zu viel gesagt, man kann beide direkt ablesen).
Für die e) nutzt du dann die Erkenntnisse aus d), wobei du vorher den Bruch in der Klammer durch Erweitern auflöst (->Division von komplexen Zahlen).
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> was passiert mit einer komplexen Zahl, wenn man sie mit
> einer reellen zahl potenziert? Konkret: was passiert hier
> beim Potenzieren mit Betrag und Argument der Zahl?
Meinst du dieses hier:
[mm] z^{n}= \summe_{k=0, k gerade}^{n} \vektor{n \\ k} (-1)^{k/2} a^{n-k} b^{k} [/mm] + i * [mm] \summe_{k=0, k ungerade}^{n} \vektor{n \\ k} (-1)^{(k-1)/2} a^{n-k} b^{k} [/mm] mit z=a+ib
?
mit [mm] (2+i)^{n} [/mm] gilt dann:
[mm] \summe_{k=0, k gerade}^{n} \vektor{n \\ k} (-1)^{k/2} 2^{n-k} [/mm] + i * [mm] \summe_{k=0, k ungerade}^{n} \vektor{n \\ k} (-1)^{(k-1)/2} a^{n-k} [/mm] (-1)
Aber ich verstehe nicht ganz, wie mich das weiterbringen kann! verkompliziert das nicht das ganze?
oder ist dann Re(z) der vordere und Im(z) der hintere Teil des Ausdrucks?
Könnte man das noch vereinfachen in einer Weise, die ich gerade nicht sehe?
Grüßle, Lily
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Hallo,
> > Hallo,
> >
> > was passiert mit einer komplexen Zahl, wenn man sie mit
> > einer reellen zahl potenziert? Konkret: was passiert hier
> > beim Potenzieren mit Betrag und Argument der Zahl?
> Meinst du dieses hier:
> [mm]z^{n}= \summe_{k=0, k gerade}^{n} \vektor{n \\
k} (-1)^{k/2} a^{n-k} b^{k}[/mm] + i * [mm]\summe_{k=0, k ungerade}^{n} \vektor{n \\
k} (-1)^{(k-1)/2} a^{n-k} b^{k}[/mm]
> mit z=a+ib
> ?
Ich denke, das ist nicht gemeint.
> mit [mm](2+i)^{n}[/mm] gilt dann:
> [mm]\summe_{k=0, k gerade}^{n} \vektor{n \\
k} (-1)^{k/2} 2^{n-k}[/mm]
> + i * [mm]\summe_{k=0, k ungerade}^{n} \vektor{n \\
k} (-1)^{(k-1)/2} a^{n-k}[/mm]
> (-1)
>
> Aber ich verstehe nicht ganz, wie mich das weiterbringen
> kann! verkompliziert das nicht das ganze?
> oder ist dann Re(z) der vordere und Im(z) der hintere Teil
> des Ausdrucks?
> Könnte man das noch vereinfachen in einer Weise, die ich
> gerade nicht sehe?
Du kannst das besser in Polarform machen. Stelle $z$ in der Form [mm] $z=r\cdot{}e^{i\varphi}$ [/mm] dar mit $r=|z|$ und [mm] $\varphi=\operatorname{arg}(z)$
[/mm]
Bei d) kannst du mal [mm] $\frac{1-1}{1+i}$ [/mm] mal in die Form $a+bi$ bringen, dann löst sich alles in Wohlgefallen auf...
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> Grüßle, Lily
Gruß
schachuzipus
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