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komplexe Zahlen/ Argumente: Problem/ Fragen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 So 06.11.2005
Autor: Esperanza

Hallo!

Wir haben jetzt komplexe Zahlen angefangen und in den dazugehörigen Übungen tauchen für mich unerklärliche Dinge auf. Hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
Nehmen wir zum Beispiel diese Aufgabe:

Bestimme Betrag und Argument von

[mm] z=\alpha\bruch{cos(2\alpha)-isin(2\alpha)}{cos\alpha+isin\alpha} [/mm]

Für Alpha steht bei uns Phi (oder "Fi")

Der Betrag ist [mm] \alpha [/mm] weil er vor dem ganzen Bruch steht, richtig?

Dann wurde draus gemacht:

[mm] \alpha\bruch{cos(-2\alpha)+isin(-2\alpha)}{cos\alpha+isin\alpha} [/mm]

Erste Frage: Warum ändern sich die Vorzeichen? Was ist der Zweck?

Weiter gings mit:

[mm] \alpha(cos(-2\alpha-\alpha)+isin(-2\alpha-\alpha) [/mm]

Frage: wo kommen die jeweiligen [mm] -\alpha [/mm] her? Hat man einfach den Zähler durch den Nenner geteilt und da wird dann noch ein [mm] \alpha [/mm] abgezogen? Versteh ich nicht.

So, dann steht da:

[mm] \alpha(cos(-3\alpha)+isin(-3\alpha)) [/mm] (ok, das ist klar, ist ja nur zusammengefasst)

Argument von z ist: [mm] -3\alpha, [/mm] wenn [mm] \alpha>0 [/mm]
                   unbestimmt, wenn [mm] \alpha=0 [/mm]
                   [mm] \pi-3\alpha, [/mm] wenn [mm] \alpha<0 [/mm]

So, was ist denn nun mein Winkel?

Komme mir blöd vor, aber das ist ein rotes Tuch für mich. Könnte genausogut Chinesisch lernen :)

Thanks for your help!

Esperanza

        
Bezug
komplexe Zahlen/ Argumente: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 So 06.11.2005
Autor: MathePower

Hallo Esperanza,

> Hallo!
>  
> Wir haben jetzt komplexe Zahlen angefangen und in den
> dazugehörigen Übungen tauchen für mich unerklärliche Dinge
> auf. Hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
>  Nehmen wir zum Beispiel diese Aufgabe:
>  
> Bestimme Betrag und Argument von
>  
> [mm]z=\alpha\bruch{cos(2\alpha)-isin(2\alpha)}{cos\alpha+isin\alpha}[/mm]
>  
> Für Alpha steht bei uns Phi (oder "Fi")
>  
> Der Betrag ist [mm]\alpha[/mm] weil er vor dem ganzen Bruch steht,
> richtig?
>  
> Dann wurde draus gemacht:
>  
> [mm]\alpha\bruch{cos(-2\alpha)+isin(-2\alpha)}{cos\alpha+isin\alpha}[/mm]
>  
> Erste Frage: Warum ändern sich die Vorzeichen? Was ist der
> Zweck?

Das sind aber zwei Fragen auf einmal:

1. Vorzeichenänderung:

Punktsymmetrie des Sinus: [mm]-\sin\;2\alpha\;=\;\sin\;-2\;\alpha[/mm]

Achsensymmetries des Cosinus: [mm]\cos\;2\alpha\;=\;\cos\;-2\;\alpha[/mm]

2. Zweck

Gleiche Argumente

>  
> Weiter gings mit:
>  
> [mm]\alpha(cos(-2\alpha-\alpha)+isin(-2\alpha-\alpha)[/mm]
>  
> Frage: wo kommen die jeweiligen [mm]-\alpha[/mm] her? Hat man
> einfach den Zähler durch den Nenner geteilt und da wird
> dann noch ein [mm]\alpha[/mm] abgezogen? Versteh ich nicht.

Multiplikation mit dem konjugiert Komplexen von [mm][mm] \cos\;\alpha\;+\;i\;\sin\;\alpha[/mm] [mm]:

[mm][mm] \cos\;\alpha\;-\;i\;\sin\;\alpha[/mm] [mm]

>  
> So, dann steht da:
>  
> [mm]\alpha(cos(-3\alpha)+isin(-3\alpha))[/mm] (ok, das ist klar, ist
> ja nur zusammengefasst)
>  
> Argument von z ist: [mm]-3\alpha,[/mm] wenn [mm]\alpha>0[/mm]
>                     unbestimmt, wenn [mm]\alpha=0[/mm]
>                     [mm]\pi-3\alpha,[/mm] wenn [mm]\alpha<0[/mm]
>  
> So, was ist denn nun mein Winkel?

Je nach dem Vorzeichen des Winkels [mm]\alpha[/mm] hast Du ein anderes Argument von z.

Gruß
MathePower

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