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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - komplexe Zahlen, Hilbert-Trafo
komplexe Zahlen, Hilbert-Trafo < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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komplexe Zahlen, Hilbert-Trafo: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:29 Fr 01.07.2011
Autor: matzekatze

Hi,

wenn ich den Realteil einer Funktion kenne, z.B.:

[mm]x(t) = cos(\omega_{0} \cdot t+\phi)[/mm],

dann kann ich den imaginären Teil dieser Funktion über die Hilbert-Transformation bestimmen.

Die Hilbert-Trafo verschiebt das reale Eingangssignal um -90 ° und ein imaginäres Eingangssignal um 90 °.

Das heisst die Hilbert-Transformierte von [mm]x(t)[/mm] ist x^(t) = [mm] sin(\omega_{0} \cdot t+\phi)[/mm].

Ist dieses Vorgehen allgemein gültig, um zu realen Funktionen oder Signalen den Imaginärteil zu bestimmen um eine anschließende Betrachtung in der Gaußschen Zahlenebene (Zeigerdiagramm) zu ermöglichen?

Realteil- und Imaginärteil sind immer zu 90° phasenverschoben zueinander? (Müssten Sie ja, da komplexe Zahlen ja soweit ich weiß immer in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt werden können)

Danke schonmal,

LG

Matze

        
Bezug
komplexe Zahlen, Hilbert-Trafo: Zuordnungssatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Sa 02.07.2011
Autor: Infinit

Hallo Matze,
die Hilberttransformation stellt zunächst einmal einen Zusammenhang zwischen Real- und Imaginärteil einer komplexen Größe dar, unabhängig davon, ob es sich bei dieser Größe um ein Zeitsignal oder ein Frequenzsignal handelt. Die Verbindung zwischen Frequenz- und Zeitsignal wird dann durch die Fouriertransformation hergestellt. Hierbei können sowohl kausale (u(t)=0 für t < 0) wie auch analytische Zeitsignale (besitzen Real- und Imaginärteil) behandelt werden.
In einem Klassiker der Netzwerktheorie (H. Marko, Methoden der Systemtheorie) ist dies in einem schönen Zuordnungsdiagramm alles dargestellt. []Hier ist ein Link zu dieser Seite. Weswegen diese Korrespondenzen bestehen, das kannst Du verstehen, wenn Du Dir die circa 14 Seiten vor diesem Bildchen durchliest.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
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