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| Aufgabe | [mm] \IC [/mm] ist ein Körper der komplexen Zahlen mit der imaginären Einheit i.
a) Berechne i^-101 und p^20, wobei [mm] p=\bruch{-1+\wurzel{3}i}{2}
[/mm]
b) bestimme alle [mm] z\in \IC [/mm] mit [mm] z^4=1
[/mm]
c) bestimme alle [mm] z\in \IC [/mm] mit [mm] z^p=1 [/mm] |
zu a) muss ich einfach i und p in die Gleichung einsetzen?
zu b) zum beispiel ist z=1 eine Lösung...wie soll man da weiter berechnen??
zu c) da habe ich selbst keine idee...ich muss z und p unabhängig voneinander berechnen...
Bitte um Hilfe
Gruß
Mathegirl
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Hallo!
> [mm]\IC[/mm] ist ein Körper der komplexen Zahlen mit der
> imaginären Einheit i.
>
> a) Berechne i^-101 und p^20, wobei
> [mm]p=\bruch{-1+\wurzel{3}i}{2}[/mm]
> b) bestimme alle [mm]z\in \IC[/mm] mit [mm]z^4=1[/mm]
> c) bestimme alle [mm]z\in \IC[/mm] mit [mm]z^p=1[/mm]
> zu a) muss ich einfach i und p in die Gleichung
> einsetzen?
[mm] i^{-101}=??? [/mm] ist die eine Aufgabe, [mm] \left(\bruch{-1+\wurzel{3}i}{2}\right)^{20}=??? [/mm] die andere.
> zu b) zum beispiel ist z=1 eine Lösung...wie soll man da
> weiter berechnen??
>
> zu c) da habe ich selbst keine idee...ich muss z und p
> unabhängig voneinander berechnen...
Es geht hier um das Verständnis der komplexen Zahlen. Du kannst eine komplexe Zahl [mm] x\in\IC [/mm] schreiben als $x=a+i*b_$ mit $a, b [mm] \in \IR$ [/mm] oder aber als [mm] x=r*e^{i\phi} [/mm] mit [mm] $r,\phi\in\IR$
[/mm]
a und b beschreiben dir Koordinaten in der komplexen Zahlenebene, also wie x und y. Die eignen sich gut, um komplexe zahlen zu addieren: $(p+iq)+(r+is)=(p+r)+i(q+s)_$
Die andere Variante hat aber auch was: Sie gibt den Abstand r vom Ursprung in der Ebene an, sowie den Winkel [mm] \phi, [/mm] den die komplexe Zahl mit dem Ursprung und der positiven reellen Schse (positive x-Achse) einschließt.
Der Witz ist nun, Wenn du zwei Zahlen multiplizierst, dann multipliziert man den Abstand der beiden miteinander, und addiert ihre Winkel:
[mm] t*e^{i\alpha}*u*e^{i\beta}=(t*u)*e^{i(\alpha+\beta)}
[/mm]
Jetzt bist du dran: Wie kommt man von der ersten Darstellung auf die zweite, und wie wieder zurück? (Das ist Geometrie 9. Klasse... mach dir das graphisch an der Zahlenebene klar)
Damit kannst du die a) bereits lösen.
Bei b) und c) überleg mal, wie die Multiplikation einer Zahl mit sich selbst aussieht, und wie man das zurückrechnen kann.
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oh mein Gott, entweder stelle ich mich grad so doof an oder es macht einfach nicht "klick".
die Form a+ib herzustellen ist kein Problem. Die Form ist ja bereits gegeben mit p= .....
ich habe es aber trotzdemnoch nicht verstanden, sorry.... :(
Mathegirl
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> oh mein Gott, entweder stelle ich mich grad so doof an oder
> es macht einfach nicht "klick".
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> die Form a+ib herzustellen ist kein Problem. Die Form ist
> ja bereits gegeben mit p= .....
Hallo,
ich hoffe, Du weißt, wie man komplexe Zahlen z in der Zahlenebene darstellen kann, als Vektoren: [mm] z=\vektor{Re(z)\\ Im(z)}.
[/mm]
Nun hat Dir doch Event Horizon 8sinngemäß) gesagt, daß man z auch schreiben kann als [mm] z=|z|e^{i\varphi}, [/mm] wobei [mm] \varphi [/mm] der Winkel zwischen x-Achse und Vektor ist.
Berechne also |p| und diesen Winkel. (Bei Nachfragen bitte Deine Rechnung mitposten.)
Wenn Du dann p in der Darstellung [mm] p=|p|e^{i\varphi_p} [/mm] hast, ist das Potenzieren sehr leicht.
Zur anderen Aufgabe aus a):
[mm] i^{-101}= (\bruch{1}{i})^{101} [/mm] = [mm] (-\bruch{-1}{i})^{101}= (...)^{101}, [/mm] und wenn Du jetzt noch weißt, was [mm] i^4 [/mm] ist, hast Du das Ergebnis fast.
Gruß v. Angela
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die Schreibweise mit dem Winkel hatten wir noch nicht in der Vorlesung.
Und wieso [mm] i^4? [/mm] wie kommt man darauf? das ist doch 1 oder?
Gruß
Mathegirl
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> die Schreibweise mit dem Winkel hatten wir noch nicht in
> der Vorlesung.
Hallo,
aber die Multiplikation von komplexen Zahlen (in der Vektordarstellung) habt Ihr doch bestimmt besprochen, oder?
Also: Beträge multiplizieren, Winkel addieren.
> Und wieso [mm]i^4?[/mm] wie kommt man darauf? das ist doch 1 oder?
Darauf kommen tut man indem man's ausrechnet, und man bekommt in der Tat 1.
Und wenn Du jetzt noch bedenkt, daß 101= 4*25 + 1 bist Du der Lösung von [mm] i^{-101} [/mm] deutlich näher gekommen.
Gruß v. Angela
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mag sein, dass ich bei dir grad verzeweiflung auslöse, aber kannst du mir nicht den anfang schreiben? ich verstehe es leider echt nicht :(
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Hallo,
du machst definitiv zuviele Aufgaben gleichzeitig.
Du musst dir schon mehr als 3 min. Zeit nehmen.
Mache erstmal die eine Aufgabe in Ruhe und überlege gründlich, dann die nächste, sonst wird das nix ...
LG
schachuzipus
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> mag sein, dass ich bei dir grad verzeweiflung auslöse,
Hallo,
nö, dazu müßte was anderes kommen.
Ich wundere mich bloß, daß Du offenbar keine eigenen Versuche unternimmst.
Hey, hallo! Zum Mathestudieren gehören bergeweise "vergeblich" beschriebenes Papier, stundenlanges Nachdenken und Probieren mit Papier und Stift und 'nem Stapel Büchern, und am Ende sind's 4 Zeilen, über die man sich dann freut. Und nur so bringt das was!
Auch wenn man dann im Tutorium sieht, daß es doch noch etwas anders geht, kann man so seinen Fehler begreifen und ihn vielleicht nächstes Mal nicht mehr machen.
Wenn Häppchen auf dem Silbertablett serviert werden, kann man den gröbsten Hunger stillen, wenn man genügend oft zugreift. Kochen lernt man davon nicht.
Zum wirklichen Nachdenken über das, was hier gerade in der letzten halben Stunde geschrieben wurde, kannst Du Dir ja bei dem Feuerwerk an neuen Fragen gar keine Zeit genommen haben.
> aber kannst du mir nicht den anfang schreiben? ich verstehe
> es leider echt nicht :(
Von der i-Potenz? das ist doch bis aufs i Rechnen auf Mittelstufenniveau, hier braucht's keine Winkel und so:
[mm] i^{-101}=\bruch{1}{i^{101}}=\bruch{1}{i^{4*25+1}}= \bruch{1}{i^{4*25}*i}=\bruch{1}{1*i}= \bruch{-i^2}{i}=-i
[/mm]
Bei der Aufgabe mit dem p kannst Du ja mal die Länge des entsprechenden Vektors und den Winkel mit der x-Achse bestimmen.
Danach kann man weitersehen - wenn Du Dich nochmal eingehend über beträge und Winkel bei der Multiplikation von Vektoren informiert hast.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Do 05.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
ich habe ja schon ewig dran gesessen, nicht nur mal schnell, während ich im Forum schreibe...vielleicht sollte ich aufgabe b) und c) mit der Moivre Formel berechnen? Da müsste laut meiner Rechnung zum beispiel -1 rauskommen. aber dann stelle ich mir wieder die Frage, ob das wirklich die einzige Lösung ist für [mm] z^4=1 [/mm] denn die Aufgabe besagt ja "bestimme ALLE" und da geht meine verzweiflung wieder los, weil ich nicht weiß, wie ich jetzt weiter vorgehen soll....also Mühe gebe ich mir schon, das ist einfach so!!!
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