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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Beschreiben Sie filgende Mengen geometrisch:
a) [mm] \{z \in \IC:|z-i|+|z+i|<4\}
[/mm]
b) [mm] \{z \in \IC:|z^{2}-1|<1\}
[/mm]
Hinweis: Verwenden Sie bei b) zunächst die Darstellung z=x+i*y (x,y [mm] \in \IR) [/mm] und anschließend Polarkoordinaten.Die Additionstheoreme [mm] sin^{2}\phi+cos^{2}\phi=1 [/mm] und [mm] cos2\phi=cos^{2}\phi-sin^{2}\phi [/mm] dürfen verwendet werden. |
Hallo zusamme,
Ich habe versucht diese Mengen geometrisch zu beschreiben, aber bin nicht mehr weitergekommen. Ich hoffe mir kann jemand helfen.
a) Ich habe zunächst
[mm] |z-i|+|z+i|=\wurzel{x^{2}+(y-1)^{2}}+\wurzel{x^{2}+(y+1)^{2}}<4, [/mm]
Dann hab ich das quadriert und alles zusammengefasst soweit es ging, und bin auf dolgendes gekommen:
[mm] 2*(x^{2}+y^{2}-4y+1)+2*\wurzel{(x^{2}*y^{2}+1)^{2}+2*(a+b)*(a-b)} [/mm] < 16.
Aber diese Darstellung bringt mir auch nichts, denn die Wurzel vershwindet einfach nicht. Ich weiß grad wirklich nicht, wie ich hier weitermachen soll.
b) Hier hab ich nach dem Hinweis gerechnet. Zunächst nehme ich die Darstellung z=x+i*y.Dann ist
[mm] |z^{2}-1|=\wurzel{(x^{2}-y^{2}-1)^{2}+(2xy)^{2}}<1, [/mm] durch quadrieren,Klammern auflösen und zusammenfassen ergibt sich:
[mm] x^{4}+y^{4}+4x^{2}*y^{2}-2x^{2}*y^{2}-2x^{2}+2y^{2}<0.
[/mm]
Jetzt stelle ich z mit Polarkoordinaten dar, also [mm] z=r*cos\phi+r*i*sin\phi, [/mm] also ist [mm] x=r*cos\phi, y=r*sin\phi. [/mm] Dann hab ich in der Ungleichung oben, alle x und y durh [mm] r*cos\phi [/mm] bzw. [mm] r*sin\phi [/mm] ersetzt und nachdem ich alles zusammengefasst habe,bin ich auf folgendes gekommen:
[mm] cos^{2}\phi(4r^{2}*cos^{2}\phi-4r^{2}*cos2\phi-2r^{2}+r^{2}*cos^{2}2\phi) [/mm] <0.
So, aber dieser Ungleichung kann ich nicht entnehmen wie das geometrisch aussehen soll, vor allem weil da auch das r steht. Ich komme hier nicht mehr weiter.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Fr 21.01.2011 | | Autor: | statler |
> Beschreiben Sie filgende Mengen geometrisch:
>
> a) [mm]\{z \in \IC:|z-i|+|z+i|<4\}[/mm]
>
> b) [mm]\{z \in \IC:|z^{2}-1|<1\}[/mm]
>
> Hinweis: Verwenden Sie bei b) zunächst die Darstellung
> z=x+i*y (x,y [mm]\in \IR)[/mm] und anschließend
> Polarkoordinaten.Die Additionstheoreme
> [mm]sin^{2}\phi+cos^{2}\phi=1[/mm] und
> [mm]cos2\phi=cos^{2}\phi-sin^{2}\phi[/mm] dürfen verwendet werden.
Mahlzeit!
> Ich habe versucht diese Mengen geometrisch zu beschreiben,
> aber bin nicht mehr weitergekommen. Ich hoffe mir kann
> jemand helfen.
>
> a) Ich habe zunächst
>
> [mm]|z-i|+|z+i|=\wurzel{x^{2}+(y-1)^{2}}+\wurzel{x^{2}+(y+1)^{2}}<4,[/mm]
>
> Dann hab ich das quadriert und alles zusammengefasst soweit
> es ging, und bin auf dolgendes gekommen:
>
> [mm]2*(x^{2}+y^{2}-4y+1)+2*\wurzel{(x^{2}*y^{2}+1)^{2}+2*(a+b)*(a-b)}[/mm]
> < 16.
Wo kommen a und b auf einmal her? Aber du sollst das ja geometrisch beschreiben: Was bedeuten denn |z-i| und |z+i| jeweils für sich? Wenn du dir darüber klar geworden bist, könntest du dir mal überlegen, welche Figur (Punktmenge) sich ergibt, wenn du die Ungleichung durch eine Gleichung ersetzt. Und dann hast du die Frage im wesentlichen beantwortet.
>
> Aber diese Darstellung bringt mir auch nichts, denn die
> Wurzel vershwindet einfach nicht. Ich weiß grad wirklich
> nicht, wie ich hier weitermachen soll.
Wenn du unbedingt rechnen willst, kannst du solange quadrieren und umsortieren, bis die Wurzeln weg sind.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 So 23.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Beschreiben Sie filgende Mengen geometrisch:
> >
> > a) [mm]\{z \in \IC:|z-i|+|z+i|<4\}[/mm]
> Mahlzeit!
> > Dann hab ich das quadriert und alles zusammengefasst soweit
> > es ging, und bin auf dolgendes gekommen:
> >
> >
> [mm]2*(x^{2}+y^{2}-4y+1)+2*\wurzel{(x^{2}*y^{2}+1)^{2}+2*(a+b)*(a-b)}[/mm]
> > < 16.
>
> Wo kommen a und b auf einmal her? Aber du sollst das ja
> geometrisch beschreiben: Was bedeuten denn |z-i| und |z+i|
> jeweils für sich? Wenn du dir darüber klar geworden bist,
> könntest du dir mal überlegen, welche Figur (Punktmenge)
> sich ergibt, wenn du die Ungleichung durch eine Gleichung
> ersetzt. Und dann hast du die Frage im wesentlichen
> beantwortet.
>
Das a und b sollten eigentlich x und y sein, weiß auch nicht wieso ich da auf einmal a und b geschrieben habe.
Ok,ich versuche erstmal zu verstehen,was |z-i| bedetuet. Es ist [mm] |z-i|=\wurzel{a^{2}+(b-1)^{2}}=\wurzel{a^{2}+b^{2}-2b+1}. [/mm] Also hab ich schonmal eine Wurzelfunktion.Außerdem ist [mm] r^{2}=(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^2, [/mm] d.h. ich habe einen Kreis mit Mittelpunkt (0/1). Und bei |z-i| hab ich einen Kreis mit Mittelpunkt (0/-1). Ich hab also zwei Kreise. Das Probelm ist,dass ich nicht weiß, wie ich den Rasius rauskriegen soll.Wie kann ich den denn rauskriegen?
(Ich stelle mir das ganze jetzt so vor, dass zwei Kreise mit den gegebeneb Punkten im Koordinatensystem liegen, der eine lieget etwas weiter oben, der andere unten. Ob die sich schneiden, weiß ich nicht, da ich den Radius nicht habe. Und wenn ich die beiden Kreise addiere, wäre das doch die Vereinigung oder?)
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Mo 24.01.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ok,ich versuche erstmal zu verstehen,was |z-i| bedetuet.
> Es ist
> [mm]|z-i|=\wurzel{a^{2}+(b-1)^{2}}=\wurzel{a^{2}+b^{2}-2b+1}.[/mm]
> Also hab ich schonmal eine Wurzelfunktion.Außerdem ist
> [mm]r^{2}=(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^2,[/mm] d.h. ich habe einen Kreis
> mit Mittelpunkt (0/1). Und bei |z-i| hab ich einen Kreis
> mit Mittelpunkt (0/-1). Ich hab also zwei Kreise. Das
> Probelm ist,dass ich nicht weiß, wie ich den Rasius
> rauskriegen soll.Wie kann ich den denn rauskriegen?
Den kannst du nicht rauskriegen. Aber |z-i| ist geometrisch eben der euklidische Abstand von z und i, |z+i| derjenige von z und -i. Wenn jetzt die Summe diesr beiden Abstände zunächst = 4 sein soll, dann hast du also 2 feste Punkte und suchst alle Punkte, für die die Summe der beiden Abstände = 4 ist. Was ergibt das als Figur in der Ebene?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Mandy,
zu Aufgabe (b) :
> b) [mm]\{z \in \IC:|z^{2}-1|<1\}[/mm]
>
> Hinweis: Verwenden Sie bei b) zunächst die Darstellung
> z=x+i*y (x,y [mm]\in \IR)[/mm] und anschließend
> Polarkoordinaten.Die Additionstheoreme
> [mm]sin^{2}\phi+cos^{2}\phi=1[/mm] und
> [mm]cos2\phi=cos^{2}\phi-sin^{2}\phi[/mm] dürfen verwendet werden.
> b) Hier hab ich nach dem Hinweis gerechnet. Zunächst nehme
> ich die Darstellung z=x+i*y.Dann ist
> [mm]|z^{2}-1|=\wurzel{(x^{2}-y^{2}-1)^{2}+(2xy)^{2}}<1,[/mm] durch
> quadrieren,Klammern auflösen und zusammenfassen ergibt
> sich:
>
> [mm]x^{4}+y^{4}+4x^{2}*y^{2}-2x^{2}*y^{2}-2x^{2}+2y^{2}<0.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt stelle ich z mit Polarkoordinaten dar, also
> [mm]z=r*cos\phi+r*i*sin\phi,[/mm] also ist [mm]x=r*cos\phi, y=r*sin\phi.[/mm]
> Dann hab ich in der Ungleichung oben, alle x und y durh
> [mm]r*cos\phi[/mm] bzw. [mm]r*sin\phi[/mm] ersetzt und nachdem ich alles
> zusammengefasst habe,bin ich auf folgendes gekommen:
>
> [mm]cos^{2}\phi(4r^{2}*cos^{2}\phi-4r^{2}*cos2\phi-2r^{2}+r^{2}*cos^{2}2\phi)\ <0[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Hier kann wohl etwas nicht stimmen. Es sollten doch auch
noch vierte Potenzen von r auftreten, oder fallen die wirklich
alle heraus ?
> So, aber dieser Ungleichung kann ich nicht entnehmen wie
> das geometrisch aussehen soll, vor allem weil da auch das r
> steht.
Falls wie in deiner Version sich die vierten Potenzen verabschiedet
haben sollten, dann wäre das doch schön, weil man dann [mm] r^2
[/mm]
als gemeinsamen Faktor ausklammern könnte, und bekanntlich
ist [mm] r^2\ge0 [/mm] für alle r !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 23.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Al-Chwarizmi,
> > zusammengefasst habe,bin ich auf folgendes gekommen:
> >
> >
> [mm]cos^{2}\phi(4r^{2}*cos^{2}\phi-4r^{2}*cos2\phi-2r^{2}+r^{2}*cos^{2}2\phi)\ <0[/mm]
>
>
>
> Hier kann wohl etwas nicht stimmen. Es sollten doch auch
> noch vierte Potenzen von r auftreten, oder fallen die
> wirklich
> alle heraus ?
Ne, ich hatte mich vertan,die fallen nicht alle raus, es ist:
[mm] r^{4}*cos^{2}2\phi+4r^{2}*cos^{2}\phi-4r^{2}*cos^{4}\phi-2r^{2}*cos^ {2}\phi [/mm] <0 bzw.
[mm] r^{4}*cos^{2}2\phi+2r^{2}*cos^{2}\phi-4r^{2}*cos^{4}\phi [/mm] < 0
So, aber ich versteh immer noch nicht wie ich das geometrisch interpretieren kann.
lg
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> > > zusammengefasst habe,bin ich auf folgendes gekommen:
> > >
> > >
> >
> [mm]cos^{2}\phi(4r^{2}*cos^{2}\phi-4r^{2}*cos2\phi-2r^{2}+r^{2}*cos^{2}2\phi)\ <0[/mm]
> >
> >
> >
> > Hier kann wohl etwas nicht stimmen. Es sollten doch auch
> > noch vierte Potenzen von r auftreten, oder fallen die
> > wirklich
> > alle heraus ?
>
> Ne, ich hatte mich vertan,die fallen nicht alle raus, es
> ist:
>
> [mm]r^{4}*cos^{2}2\phi+4r^{2}*cos^{2}\phi-4r^{2}*cos^{4}\phi-2r^{2}*cos^ {2}\phi[/mm]
> <0 bzw.
> [mm]r^{4}*cos^{2}2\phi+2r^{2}*cos^{2}\phi-4r^{2}*cos^{4}\phi\ <\ 0[/mm]
Ich befürchte, dass da immer noch etwas nicht stimmt ...
Zeig doch deine komplette Rechnung !
>
> So, aber ich versteh immer noch nicht wie ich das
> geometrisch interpretieren kann.
Der Term (auch der korrekt berechnete) lässt sich weiter
umformen. Zur Vereinfachung und besseren Übersicht rate
ich dir zur Abkürzung [mm] c:=cos(\phi) [/mm] .
Ferner gilt [mm] cos(2\,\phi)=cos^2(\phi)-sin^2(\phi)=2cos^2(\phi)-1=2c^2-1
[/mm]
Weiter kann man dann die gesamte Ungleichung durch
[mm] r^2 [/mm] dividieren, weil ja [mm] r^2>0 [/mm] für alle [mm] r\neq0 [/mm] (den Fall r=0
dann einfach separat betrachten !)
LG Al-Chw.
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