matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMathematik-Wettbewerbekomplexe Zahlen im Dreieck
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - komplexe Zahlen im Dreieck
komplexe Zahlen im Dreieck < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

komplexe Zahlen im Dreieck: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:46 Do 22.01.2009
Autor: tuxor

Aufgabe
Innerhalb eines beliebigen Dreiecks ABC sei ein Punkt P so gewählt, dass die Winkel CAP und PBC gleich sind. D und E seien die Lotfußpunkte von P auf CB bzw. auf AC. Zeige, dass EM = DM, wenn M Mittelpunkt der Strecke AB ist.

Die Aufgabenstellung habe ich leider nicht mehr wörtlich vorliegen. Deswegen könnte es sich unter Umständen etwas eigenartig anhören ;)
Leider habe ich gerade keine Skizze parat, ich hoffe ihr könnt euch vorstellen, wie es gemeint ist!

Die Lösung der Aufgabe habe ich schonmal gesehen, aber das ist allerdings ein bisschen her und ich habe sie leider auch nicht parat.
Ich weiß noch, dass die Lösung mit komplexen Zahlen recht einfach vonstatten ging.

Nachdem man festgestellt hat, dass die Dreiecke APE und PED ähnlich sind, kann man folgende Formeln aufstellen:
[mm]A - E = \lambda * i * E[/mm]
[mm]B - D = -\lambda * i * D[/mm]

Tja, und jetzt dürfte es sich nur noch um wenige denkbar triviale Schritte zur Lösungsfindung handeln. (Eventuell hilft weiter, dass M das arithmetische Mittel von A und B ist.)
Jedenfalls schaffe ich die letzten entscheidenden Schritte nicht, weil ich mit komplexen Zahlen so gar nicht vertraut bin. Trotzdem will ich wirklich die Lösung mit komplexen Zahlen kennenlernen, damit ich das darüber vielleicht endlich mal durchschaue!

Viele schöne Grüße

TuXoR

        
Bezug
komplexe Zahlen im Dreieck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Fr 23.01.2009
Autor: reverend

Hallo tuxor,

Deinem Ansatz fehlt noch eine wesentliche Angabe. Du legst das Dreieck in die komplexe Zahlenebene, das ist soweit ok. Die Frage ist nun, ob es wirklich "irgendwo" in der Ebene liegt, oder ob sich Dinge vereinfachen, wenn es eine bestimmte Lage hat. Für mich sieht es so aus, als ob es geschickt wäre, den Ursprung in P zu haben.

>  Leider habe ich gerade keine Skizze parat, ich hoffe ihr
> könnt euch vorstellen, wie es gemeint ist!

Naja, ich habe mir schon selbst eine gemacht...

> [...]  
> Nachdem man festgestellt hat, dass die Dreiecke APE und PED
> ähnlich sind,

Das sind sie nicht. Ähnlich (wenn auch gespiegelt) sind APE und PBD

> kann man folgende Formeln aufstellen:
>  [mm]A-E=\lambda*i*E[/mm]
>  [mm]B-D=-\lambda*i*D[/mm]

Aha.
Das stimmt nur dann, wenn der Ursprung tatsächlich in P liegt!
  

> Tja, und jetzt dürfte es sich nur noch um wenige denkbar
> triviale Schritte zur Lösungsfindung handeln.

Stimmt.

Zu zeigen ist ja die Behauptung [mm] \a{}|E-M|=|D-M|. [/mm]

Das geht jetzt so:

1) Deine beiden Gleichungen nach A und B umstellen:
[mm] A=E(1+\lambda \a{}i) [/mm]
[mm] B=D(1-\lambda \a{}i) [/mm]

2) M berechnen:

[mm] M=\bruch{A+B}{2}=\bruch{E(1+\lambda i)+D(1-\lambda i)}{2} [/mm]

3) In Behauptung einsetzen:

[mm] |E-M|=\left|\bruch{E(1-\lambda i)-D(1-\lamda i)}{2}\right|=\left|(1-\lambda i)*\bruch{E-D}{2}\right|\red{=}\left|-(1+\lambda i)*\bruch{E-D}{2}\right|=\left|\bruch{-E(1+\lambda i)+D(1+\lambda i}{2}\right|=|D-M| [/mm]

was zu zeigen war.
Natürlich ist es leichter, sich die Beträge |E-M| und |D-M| erst einmal einzeln aufzuschreiben.
Oben ist der wesentliche Schritt der am roten Gleichheitszeichen. Zugrunde liegt die Tatsache, dass [mm] \a{}|a+bi|=|a-bi| [/mm] und dass [mm] \a{}|c|=|-c|. [/mm]

Grüße,
reverend

Bezug
                
Bezug
komplexe Zahlen im Dreieck: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:49 Fr 23.01.2009
Autor: tuxor


> Die Frage ist nun, ob es wirklich "irgendwo" in der Ebene
> liegt, oder ob sich Dinge vereinfachen, wenn es eine
> bestimmte Lage hat. Für mich sieht es so aus, als ob es
> geschickt wäre, den Ursprung in P zu haben.
> [...]
> Das stimmt nur dann, wenn der Ursprung tatsächlich in P
> liegt!

Oh stimmt, davon bin ich einfach ausgegangen...

> > Nachdem man festgestellt hat, dass die Dreiecke APE und PED
> > ähnlich sind,
>
> Das sind sie nicht. Ähnlich (wenn auch gespiegelt) sind APE
> und PBD

Sorry, da habe ich mich verschrieben und es beim Kontrolllesen übersehen.

> Zu zeigen ist ja die Behauptung [mm]\a{}|E-M|=|D-M|.[/mm]

Ah gut, dann lag ich mit meinen eigenen Versuchen, die ich so auf dem Papier durchprobiert hatte, gar nicht mal so daneben.

> Zugrunde liegt die Tatsache, dass
> [mm]\a{}|a+bi|=|a-bi|[/mm] und dass [mm]\a{}|c|=|-c|.[/mm]

Genau das war mir nicht bewusst. Dabei ist es ja eigentlich ganz logisch, dass konjugierte komplexe Zahlen im Betrag gleich sind...

Also vielen Dank für deine hilfreiche Antwort :)

Gruß,
tuxor


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]