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| Aufgabe | | Ermitteln Sie alle komplexen Zahlen, für die die Gleichung [mm] z=z^5 [/mm] gilt. |
Mein Ansatz ist ist die auflösung einer binomischen Formel gewesen und ich hab dann eine sehr lange Gleichung von [mm] a^5+4a^4bi-6a^3b^2...usw. [/mm] herausbekommen, weiß dann aber nicht wie ich mit dieser Gleichung rechnen muß bzw. ob der ansatz zur lösung der richtige ist.
Grüße Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sebastian und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Ermitteln Sie alle komplexen Zahlen, für die die Gleichung
> [mm]z=z^5[/mm] gilt.
> Mein Ansatz ist ist die auflösung einer binomischen Formel
> gewesen und ich hab dann eine sehr lange Gleichung von
> [mm]a^5+4a^4bi-6a^3b^2...usw.[/mm] herausbekommen, weiß dann aber
> nicht wie ich mit dieser Gleichung rechnen muß bzw. ob der
> ansatz zur lösung der richtige ist.
Das ist mehr als mühselig, du müsstest einen Koeffizientengergleich der Real- und Imaginärteile machen, ich weiß gar nicht, ob das überhaupt schön klappt 
Aber ersichtlich ist $z=0$ eine Lösung, denn [mm] $0^5=0$
[/mm]
Für [mm] $z\neq [/mm] 0$ darfst du durch $z$ teilen und bekommst: [mm] $z^4=1$
[/mm]
Diese Gleichung hat in [mm] $\IC$ [/mm] 4 Lösungen, die sog. 4ten Einheitswurzeln.
Suche mal in deinem Skript nach, wie man die berechnet oder überlege es dir heuristisch.
2 reelle Lösungen von [mm] $z^4=1$ [/mm] kannst du ja ablesen ...
Es ist ja [mm] $z^4=1\Rightarrow z^2=|1|$, [/mm] wenn du die Wurzel ziehst, also [mm] $z^2=1$ [/mm] oder [mm] $z^2=-1$
[/mm]
Damit kannst du die (restlichen 4 neben z=0) Lösungen ablesen
"Zur Not" kannst du bei [mm] $z^4=1$ [/mm] wieder $z=a+bi$ setzen und einen Koeffizientenvergleich mit [mm] $1=1+0\cdot{}i$ [/mm] machen, Real- und Imaginärteil müssen ja gleich sein.
Dieser Koeffizientenvgl. ist hier nicht allzu schwierig.
Aber "schöner" ist's mit den Einheitswurzeln ...
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> Grüße Sebastian
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
schachuzipus
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