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| Aufgabe | Bestimmen Sie jene Kurve, auf die der Einheitskreis |z|=1 der komplexen Zahlenebene durch z [mm] \mapsto \bruch{j}{z-j} [/mm] abgebildet wird. Zerlegen Sie den Abbildungsvorgang in mehrere Schritte!
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Hallo zusammen,
kann mir bitte jemand einen Lösungsansatz für diese Aufgabe geben???
Danke, mathebeckham
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Hallo!
Hier ist hauptsächlich gefragt, wie die elementaren Rechenfunktionen im Komplexen graphisch dargestellt werden können.
Addieren und Subtrahieren klappt genauso wie bei Vektoren, da muß nicht viel gesagt werden, denke ich.
Beim Multiplizieren werden die Beträge beider Zahlen multipliziert, und die Winkel zur positiven, reellen Achse addiert. Demnach verläuft das Dividieren umgekehrt, Beträge dividieren und Winkel voneinander abziehen.
Was passiert nun in deiner Aufgabe?
Zunächst wird der Einheitskreis um 1i verschoben, anschließend wird "i / Kreis" berechnet.
Der erste Schritt ist also sehr einfach, für den zweiten kannst du dir ja z.B. acht markante Punkte des Kreises nehmen, und daraus jeweils die neuen Punkte berechnen.
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Hallo, danke für die Hilfe! Wenn ich das richtig verstehe soll ich in dem ersten Punkt den Einheitskreis lediglich um j verschieben?! Daraus würde sich ein Kreis ergeben der durch den Nullpunkt und 2j geht. Richtig???
Und dann soll ich j durch markante Punkte, zb. 2j, des Kreises teilen
Bin ich da auf dem richtigem Weg??> Hallo!
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> Hier ist hauptsächlich gefragt, wie die elementaren
> Rechenfunktionen im Komplexen graphisch dargestellt werden
> können.
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> Addieren und Subtrahieren klappt genauso wie bei Vektoren,
> da muß nicht viel gesagt werden, denke ich.
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> Beim Multiplizieren werden die Beträge beider Zahlen
> multipliziert, und die Winkel zur positiven, reellen Achse
> addiert. Demnach verläuft das Dividieren umgekehrt, Beträge
> dividieren und Winkel voneinander abziehen.
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> Was passiert nun in deiner Aufgabe?
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> Zunächst wird der Einheitskreis um 1i verschoben,
> anschließend wird "i / Kreis" berechnet.
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> Der erste Schritt ist also sehr einfach, für den zweiten
> kannst du dir ja z.B. acht markante Punkte des Kreises
> nehmen, und daraus jeweils die neuen Punkte berechnen.
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Hallo!
Generell ist das korrekt, aber bedenke, da steht z-j, also wird der Kreis nach unten verschoben.
Ich habe mir das mal geplottet. Das Ergebnis ist eine sehr einfache geometrische Figur, sofern mein Plotter das richtig macht.
Ein Tipp dazu noch: Wandle die Winkel/Betrag-Darstellung nochmal in a+ib-Datestellung um, dann siehst du es!
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Hi,
kannst du mir einen Plotter empfehlen mit dem ich komplexe zahlen gut veranschaulichen kann???
ich finde über google nichts vernünftiges.
Danke> Hallo!
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Hallo!
Ich wüßte jetzt direkt keinen (kostenlosen) Funktionsplotter.
Ich habe Gnuplot benutzt, das ist ein Programm, das per Kommandozeile gesteuert wird, allerdings eher auf das Plotten von Datensätzen spezialisiert ist. Es kann aber auch Funktionen plotten, und da es komplexe Zahlen zumindest versteht, kann man da was reißen.
Falls du interessiert bist, ich habe das so gemacht:
i={0,1} # Komplexe Zahlen a+ib werden als {a,b} dargestellt, jetzt haben wir ein schönes i.
f(t)=cos(t)+i*sin(t) #Deine Kreisgleichung!
g(t)=f(t)-i #erster Schritt
h(t)=i/g(t) # zweiter Schritt
set parametric # Wir wollen parametrisch plotten, dabei ist grunsätzlich t die Parametervariable
set size square # eine Einheit soll in x- und y-Richtung die gleich Länge haben. Funktioniert nicht immer, daher besser Plotbereich festlegen:
set xrange[-5:5]
set yrange[-5:5]
plot real(f(t)), imag(f(t)) # plottet real- und imaginärteil als x- und y-werte. Das ist dein Kreis!
plot real(g(t)), imag(g(t)) # Und die anderen auch mal.
plot real(h(t)), imag(fht))
Und jetzt mal alles zusammen plotten:
plot real(f(t)), imag(f(t)) , plot real(g(t)), imag(g(t)) , plot real(h(t)), imag(h(t))
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Man könnte den Funktionsterm leicht umformen, indem man durch [mm]\operatorname{j}[/mm] kürzt:
[mm]f: \ \ z \mapsto \frac{1}{-\operatorname{j}z - 1}[/mm]
[mm]f[/mm] kann folgendermaßen zerlegt werden:
[mm]\delta: \ \ z \mapsto -\operatorname{j}z[/mm]
Drehung um 90° im Uhrzeigersinn
[mm]\tau: \ \ z \mapsto z - 1[/mm]
Translation um 1 nach links
[mm]\sigma: \ \ z \mapsto \frac{1}{z}[/mm]
Spiegelung zunächst an der reellen Achse, dann am Einheitskreis (oder umgekehrt)
Dann ist
[mm]f = \sigma \circ \tau \circ \delta[/mm]
Beginnen wir mit [mm]\delta[/mm]. Dies führt den Einheitskreis in sich über. [mm]\tau[/mm] verschiebt ihn dann um 1 nach links. Man hat also jetzt einen Kreis [mm]k[/mm] mit -1 als Mittelpunkt und 1 als Radius. Insbesondere enthält [mm]k[/mm] den Ursprung. Auf [mm]k[/mm] ist jetzt noch [mm]\sigma[/mm] anzuwenden. In der durch [mm]\infty[/mm] erweiterten Gaußschen Zahlenebene bildet [mm]\sigma[/mm] den Nullpunkt auf [mm]\infty[/mm] ab. Da [mm]\sigma[/mm] Kreise im erweiterten Sinn auf Kreise abbildet, das Bild von [mm]k[/mm] aber durch [mm]\infty[/mm] gehen muß, ist dieses eine Gerade. Jetzt braucht man noch zwei Punkte, um die Gerade zu bestimmen. Betrachten wir dazu die Schnittpunkte von [mm]k[/mm] mit dem Einheitskreis. Sie haben offenbar [mm]- \frac{1}{2}[/mm] als Realteil und liegen auf dem Einheitskreis symmetrisch zur reellen Achse, vertauschen damit unter [mm]\sigma[/mm] ihre Plätze. Daher bildet [mm]\sigma[/mm] den Kreis [mm]k[/mm] auf die zur imaginären Achse parallele Gerade durch [mm]- \frac{1}{2}[/mm] ab. Diese Gerade ist folglich das Bild des Einheitskreises unter [mm]f[/mm].
Die Datei im Anhang kannst du mit Euklid öffnen, einem Programm, das als Shareware ![[]](/images/popup.gif) hier erhältlich ist. Ziehe am Punkt [mm]z[/mm] und beobachte den Bildpunkt [mm]w[/mm] unter [mm]f[/mm].
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: geo) [nicht öffentlich]
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