komplexe differenzierbarkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Sa 12.04.2008 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Sei f (z) = [mm] x^3y^2+ix^2y^3 [/mm] für [mm]z\in\IC[/mm], z = x+iy. Bestimmen Sie alle [mm] z_0, [/mm] an denen f differenzierbar ist.
|
hallo!
mein problem ist, dass ich überhaupt nicht weiß wie ich anfangen soll. ich glaube die formel zu kennen, aber ich kann sie nicht anwenden. ich hab schon nach einem ähnlichen beispiel gesucht, aber nichts gefunden, dass mich weiter bringt. ich steh irgendwie grad total auf dem schlauch....
ich will nicht die komplette lösung, sondern einen tipp, wie das denn geht. das ist bestimmt total einfach, aber ich komm echt nicht drauf....
lg ella
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo ella87,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei f (z) = [mm]x^3y^2+ix^2y^3[/mm] für [mm]z\in\IC[/mm], z = x+iy. Bestimmen
> Sie alle [mm]z_0,[/mm] an denen f differenzierbar ist.
>
> hallo!
> mein problem ist, dass ich überhaupt nicht weiß wie ich
> anfangen soll. ich glaube die formel zu kennen, aber ich
> kann sie nicht anwenden. ich hab schon nach einem ähnlichen
> beispiel gesucht, aber nichts gefunden, dass mich weiter
> bringt. ich steh irgendwie grad total auf dem schlauch....
> ich will nicht die komplette lösung, sondern einen tipp,
> wie das denn geht. das ist bestimmt total einfach, aber ich
> komm echt nicht drauf....
Dann fang mal hiermit an: ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Riemannsche DGL
> lg ella
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Sa 12.04.2008 | | Autor: | ella87 |
danke für den link.
also:
[mm]\tilde f[/mm][mm] (x,y)=(x^3y^2,x^2y^3)
[/mm]
aber irgendwie weiß ich nicht was das [mm] z_0 [/mm] sein soll....und demzufolge [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0
[/mm]
das ist bestimmt was total offensichtliches, aber ich sehs nicht...
|
|
|
| |
|
Hallo ella87,
> danke für den link.
> also:
>
> [mm]\tilde f[/mm][mm] (x,y)=(x^3y^2,x^2y^3)[/mm]
>
> aber irgendwie weiß ich nicht was das [mm]z_0[/mm] sein soll....und
> demzufolge [mm]x_0[/mm] und [mm]y_0[/mm]
[mm]z_{0}=x_{0}+i*y_{0}[/mm]
> das ist bestimmt was total offensichtliches, aber ich sehs
> nicht...
>
Also hast Du [mm]\tilde f (x,y)=\pmat{x^3y^2 \\ x^2y^3}=\pmat{\tilde f_{1} (x,y) \\ \tilde f_{2} (x,y)}[/mm]
Für die komplexe Differenzierbarkeit müssen dann gelten:
[mm]\bruch{\partial \tilde{f_{1}}\left(x,y\right)}{\partial x}=\bruch{\partial \tilde{f_{2}}\left(x,y\right)}{\partial y}[/mm]
und
[mm]\bruch{\partial \tilde{f_{1}}\left(x,y\right)}{\partial x}=-\bruch{\partial \tilde{f_{2}}\left(x,y\right)}{\partial x}[/mm]
Von diesen Gleichungen ist jetzt die Lösungsmenge zu bestimmen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Sa 12.04.2008 | | Autor: | ella87 |
> [mm]\bruch{\partial \tilde{f_{1}}\left(x,y\right)}{\partial x}=-\bruch{\partial \tilde{f_{2}}\left(x,y\right)}{\partial x}[/mm]
muss da nicht im ersten bruch ein y im nenner stehen?
|
|
|
| |
|
Hallo ella87,
> > [mm]\bruch{\partial \tilde{f_{1}}\left(x,y\right)}{\partial x}=-\bruch{\partial \tilde{f_{2}}\left(x,y\right)}{\partial x}[/mm]
>
> muss da nicht im ersten bruch ein y im nenner stehen?
>
Richtig.
[mm]\bruch{\partial \tilde{f_{1}}\left(x,y\right)}{\partial y}=-\bruch{\partial \tilde{f_{2}}\left(x,y\right)}{\partial x}[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Sa 12.04.2008 | | Autor: | ella87 |
okay!
bei der ersten gleich ung komm ich auf [mm] 3x^2y^2=3x^2y^2 [/mm] , also 0=0.
und bei der zweiten auf [mm] 2x^3y+2xy^3=0 [/mm] dann hab ich durch x und y und 2 geteilt und dann hab ich x=[mm]\wurzel{-y^2}[/mm]
ist das falsch?
|
|
|
| |
|
Hallo ella87,
> okay!
>
> bei der ersten gleich ung komm ich auf [mm]3x^2y^2=3x^2y^2[/mm] ,
> also 0=0.
> und bei der zweiten auf [mm]2x^3y+2xy^3=0[/mm] dann hab ich durch x
> und y und 2 geteilt und dann hab ich x=[mm]\wurzel{-y^2}[/mm]
Das darfst Du nur, wenn [mm]x'y \not=0[/mm]
>
> ist das falsch?
Das stimmt nicht, da [mm]y^{2} \ge 0[/mm] ist,
ist die Wurzel aus einer negativen Zahl ist im Reellen nicht definiert,
sondern nur für [mm]y=0[/mm].
[mm]2x^3y+2xy^3=0[/mm]
[mm]\gdw 2xy*\left(x^{2}+y^{2}\right)=0[/mm]
[mm]\Rightarrow xy=0 \vee x^{2}+y^{2}=0[/mm]
Wann sind nun die Gleichungen erfüllt?
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 So 13.04.2008 | | Autor: | maddhe |
ja genau.. die Gleichung ist also nur für x=0 oder y=0 erfüllt, da [mm] x^2+y^2=0 [/mm] nur dann erfüllt ist, wenn x=y=0
f ist also diffbar in allen [mm] $z_0\in\left\{x+iy|x=0\vee y=0, x,y\in\IR\right\}$
[/mm]
|
|
|
|
