komplexe gleichung lösen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Fr 21.10.2005 | | Autor: | lumpi |
hallo , wenn ich zu [mm] z^{5} [/mm] +32=0 alle lösungen berechnen soll, wie mach ich das? wenn ich für z = a+bi einsetze wird die gleichung noch komplizierter, was also tun??
gruß
lumpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Eine Lösung wird ja offenbar durch $z=2 [mm] \cdot e^{\frac{\pi i}{5}}$ [/mm] gegeben (beachte: $-1= [mm] e^{\pi i}$). [/mm] Daraus erhält man durch Multiplikation der $5$-ten Einheitswurzeln alle Lösungen. Somit sind die Lösungen der Gleichung gegeben durch
[mm] $z_k [/mm] = 2 [mm] \cdot e^{\frac{\pi i}{5} + \frac{2\pi i k}{5}}$
[/mm]
für $k=0,1,2,3,4$.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Fr 21.10.2005 | | Autor: | lumpi |
auf den ansatz zu kommen fällt mir schon schwer, aber warum gibt es 5 verschiedene lösungen?
ich hab dazu folgenden satz in einem buch gefunden:
für [mm] Z=re^{i\alpha}, w=se^{i\beta} [/mm] gilt Zw= [mm] rse^{i(\alpha+\beta)}, [/mm] womit man sofort die geometrische deutung der multiplikation als drehstreckung versteht, außerdem erkennt man damit das es zu jeder komplexen zahl z genau n verschieden n-te wurzeln ( lösung der gleichung [mm] z^{n}-a=0) [/mm] gibt!
wie erkennt man das denn bitteschön daran?
gruß lumpi
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http://de.wikibooks.org/wiki/Imagin%C3%A4re_und_komplexe_Zahlen#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen