komplexe lösungen finden < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 So 21.03.2010 | | Autor: | Cortax88 |
| Aufgabe | Bestimmen sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichung in Exponentialform und stellen sie sie in der Gaußschen Zahlenebene dar.:
[mm] z^4 [/mm] = - 16 |
Hallo Leute!
Habe am Montag eine Klausur, die ich unbedingt bestehen muss.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/259900,0.html
Schreibe unter anderem über komplexe Zahlen und habe Probleme bei folgender Aufgabe:
[mm] z^4 [/mm] (z hoch 4) = - 16
Habe auch eine Musterlösung dazu:
z0 = 2 * e^(j*45°)
z1 = 2 * e^(j*135°)
z2 = 2 * e^(j*225°)
z3 = 2 * e^(j*315°)
Was ich verstehe:
Wenn ich z0 (die erste Lösung) habe, dann muss ich für die weiteren Lösungen einfach immer + 90° hinzuaddieren.
Aber wie komme ich auf den ersten Winkel,also 45 Grad ?
Und wo kommt der Faktor 2 her ?
Hoffe mir kann das jemand erklären...
Danke schonmal!
Viele Grüße
Cortax :)
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Hallo,
> Bestimmen sie alle komplexen Lösungen der folgenden
> Gleichung in Exponentialform und stellen sie sie in der
> Gaußschen Zahlenebene dar.:
>
> [mm]z^4[/mm] = - 16
> Hallo Leute!
>
> Habe am Montag eine Klausur, die ich unbedingt bestehen
> muss.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/259900,0.html
>
> Schreibe unter anderem über komplexe Zahlen und habe
> Probleme bei folgender Aufgabe:
>
> [mm]z^4[/mm] (z hoch 4) = - 16
>
> Habe auch eine Musterlösung dazu:
Zuerstmal gewöhne dir am besten an Winkelangaben im Bogenmaß zu machen, das stellt sich am ende als die bequemere Methode heraus, weil viele Sachen dadurch einfacher zu rechnen sind.
> z0 = 2 * e^(j*45°)
> z1 = 2 * e^(j*135°)
> z2 = 2 * e^(j*225°)
> z3 = 2 * e^(j*315°)
>
> Was ich verstehe:
>
> Wenn ich z0 (die erste Lösung) habe, dann muss ich für
> die weiteren Lösungen einfach immer + 90° hinzuaddieren.
Das ist natürlich nicht verkehrt, ABER um auch wirklich bei einem Winkel von 0 Grad anfangen zu können, müsste die Aufgabe lauten Einheitswurzeln zu bestimmen, also da musste sowas stehen wie [mm] z^4=1. [/mm] Dann sind die Lösungen immer in der Form [mm] e^{\bruch{2*k*\pi*i}{n}}.
[/mm]
In deinem Fall würde ich es wie folgt machen :
[mm] z^4+16=0 [/mm] substituiere [mm] z^2=x \Rightarrow [/mm] zwei Lösungen
Dann Rücksubstitution [mm] Lösungen=z^2 \Rightarrow [/mm] vier Lösungen.
Jetzt nimmst du eine der Lösungen und bestimmst die polare Darstellungen [mm] (e^{blubb}), [/mm] und DANN kannst du [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] hinzuaddieren.
> Aber wie komme ich auf den ersten Winkel,also 45 Grad ?
> Und wo kommt der Faktor 2 her ?
Der Faktor ist hier der Betrag der komplexen Zahl. Aus der allgemeinen Form
a+b*i folgt, dass in der Polardarstellung [mm] r*e^{i*\Theta} [/mm] wobei [mm] r=\wurzel{a^2+b^2} [/mm] .
> Hoffe mir kann das jemand erklären...
>
> Danke schonmal!
>
> Viele Grüße
>
> Cortax :)
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 So 21.03.2010 | | Autor: | Cortax88 |
Ok, ich hab das mit der substitution jetzt versucht.
Da MUSS aber ein Fehler drin sein (den ich nicht finde), weil weiterbringen tut mich das nicht...
Also:
[mm] z^4 [/mm] = -16
[mm] z^4 [/mm] + 16 = 0
[mm] z^2 [/mm] = x
[mm] x^2 [/mm] + 16 = 0
x1 = - Wurzel(-16)
x2 = + Wurzel(-16)
z = +/- Wurzel(x)
z = +/- Wurzel aus +/- Wurzel(-16)
z0 = + Wurzel aus Wurzel(-16)
Jetzt kann ich 2 mal quadrieren und hab wieder
[mm] z^4 [/mm] = - 16 da stehen... :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 So 21.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Ok, ich hab das mit der substitution jetzt versucht.
> Da MUSS aber ein Fehler drin sein (den ich nicht finde),
> weil weiterbringen tut mich das nicht...
>
> Also:
>
> [mm]z^4[/mm] = -16
> [mm]z^4[/mm] + 16 = 0
> [mm]z^2[/mm] = x
> [mm]x^2[/mm] + 16 = 0
> x1 = - Wurzel(-16)
> x2 = + Wurzel(-16)
> z = +/- Wurzel(x)
> z = +/- Wurzel aus +/- Wurzel(-16)
> z0 = + Wurzel aus Wurzel(-16)
>
> Jetzt kann ich 2 mal quadrieren und hab wieder
> [mm]z^4[/mm] = - 16 da stehen... :( Hallo,
ich halte den Vorschlag mit der Substitution für nicht so glücklich.
Wandle -16 in die trigonometrische Form um und wende die Formel von Moivre an - fertig.
Also:
[mm] z^4=16(cos [/mm] 180° +i * sin 180°)
...
Gruß Abakus
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Hallo Cortax88,
> Ok, ich hab das mit der substitution jetzt versucht.
> Da MUSS aber ein Fehler drin sein (den ich nicht finde),
> weil weiterbringen tut mich das nicht...
>
> Also:
>
> [mm]z^4[/mm] = -16
> [mm]z^4[/mm] + 16 = 0
> [mm]z^2[/mm] = x
> [mm]x^2[/mm] + 16 = 0
> x1 = - Wurzel(-16)
> x2 = + Wurzel(-16)
Somit hast Du hier:
[mm]x_{1}=-\wurzel{-16}=-4j[/mm]
[mm]x_{2}=+\wurzel{-16}=+4j[/mm]
> z = +/- Wurzel(x)
> z = +/- Wurzel aus +/- Wurzel(-16)
> z0 = + Wurzel aus Wurzel(-16)
Nach der Rücksubstitution ist
[mm]z_{0}=-\wurzel{x_{1}}[/mm]
[mm]z_{1}=+\wurzel{x_{1}}[/mm]
[mm]z_{2}=-\wurzel{x_{2}}[/mm]
[mm]z_{3}=+\wurzel{x_{2}}[/mm]
Diese Wurzeln musst Du noch berechnen.
Das kannst Du jetzt z.B. mit dem Ansatz
[mm]z^{2}=\left(a+bj\right)^{2}=x_{1}[/mm]
bzw.
[mm]z^{2}=\left(c+dj\right)^{2}=x_{2}[/mm]
machen.
>
> Jetzt kann ich 2 mal quadrieren und hab wieder
> [mm]z^4[/mm] = - 16 da stehen... :(
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 So 21.03.2010 | | Autor: | Cortax88 |
> Nach der Rücksubstitution ist
>
> [mm]z_{0}=-\wurzel{x_{1}}[/mm]
> [mm]z_{1}=+\wurzel{x_{1}}[/mm]
>
> [mm]z_{2}=-\wurzel{x_{2}}[/mm]
> [mm]z_{3}=+\wurzel{x_{2}}[/mm]
>
> Diese Wurzeln musst Du noch berechnen.
also bis zu dem Punkt mit den 4 Lösungen hab ich das verstanden... aber mit dem Ansatz
>
> Das kannst Du jetzt z.B. mit dem Ansatz
>
> [mm]z^{2}=\left(a+bj\right)^{2}=x_{1}[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]z^{2}=\left(c+dj\right)^{2}=x_{2}[/mm]
>
> machen.
>
kann ich ehrlich gesagt nicht viel anfangen...
für x1 setz ich -4j ein aber was setz ich für a und was für b ein ?!
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Hallo Cortax88,
> > Nach der Rücksubstitution ist
> >
> > [mm]z_{0}=-\wurzel{x_{1}}[/mm]
> > [mm]z_{1}=+\wurzel{x_{1}}[/mm]
> >
> > [mm]z_{2}=-\wurzel{x_{2}}[/mm]
> > [mm]z_{3}=+\wurzel{x_{2}}[/mm]
> >
> > Diese Wurzeln musst Du noch berechnen.
>
> also bis zu dem Punkt mit den 4 Lösungen hab ich das
> verstanden... aber mit dem Ansatz
>
> >
> > Das kannst Du jetzt z.B. mit dem Ansatz
> >
> > [mm]z^{2}=\left(a+bj\right)^{2}=x_{1}[/mm]
> >
> > bzw.
> >
> > [mm]z^{2}=\left(c+dj\right)^{2}=x_{2}[/mm]
> >
> > machen.
> >
>
> kann ich ehrlich gesagt nicht viel anfangen...
>
> für x1 setz ich -4j ein aber was setz ich für a und was
> für b ein ?!
>
Nun, das a und b sollst Du gerade ausrechnen.
Nehmen wir das oben genannte Beispiel.
Dann muss ja gelten:
[mm]\left(a+bj\right)^{2}=-4j[/mm]
Jetzt multiplizierst Du die linke Seite aus:
[mm]a^{2}+2abj+b^{2}*j^{2}=-4j[/mm]
[mm]\gdw a^{2}+2abj-b^{2}=-4j[/mm]
Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert:
[mm]a^{2}-b^{2}=0[/mm]
[mm]2ab=-4[/mm]
Dieses Gleichungssystem mußt Du jetzt lösen.
Und markiere Deine Fragen auch als Fragen, nicht als Mitteilungen,
denn dann ist die Wahrscheinlichkeit größer, daß diese Fragen gelesen
und beantwortet werden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 21.03.2010 | | Autor: | Cortax88 |
> Jetzt multiplizierst Du die linke Seite aus:
>
> [mm]a^{2}+2abj+b^{2}*j^{2}=-4j[/mm]
>
> [mm]\gdw a^{2}+2abj-b^{2}=-4j[/mm]
-> verstanden.
>
> Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert:
>
> [mm]a^{2}-b^{2}=0[/mm]
>
> [mm]2ab=-4[/mm]
>
Das hab ich nicht ganz verstanden wie du auf die 2
Gleichungen gekommen bist...
GLS lösen:
[mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] = 0
[mm] a^2 [/mm] = [mm] b^2 [/mm]
a = b
2ab = -4
[mm] 2a^2 [/mm] = -4
[mm] a^2 [/mm] = -2
a = Wurzel(-2)
b = Wurzel(-2)
r = [mm] Wurzel(a^2+b^2)
[/mm]
r = Wurzel(-4)
So.
Müsste ich nicht eigentlich r=Wurzel(4) haben damit der
Faktor r=2 rauskommt ?
Wo liegt der Fehler ?
Den Winkel Phi der ersten Lösung, also 45 Grad habe ich damit dann aber noch nicht.. -> Wie bekomme ich den ?
Danke für eure Geduld...
Gruss
Cortax88
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Hallo Cortax88,
>
> > Jetzt multiplizierst Du die linke Seite aus:
> >
> > [mm]a^{2}+2abj+b^{2}*j^{2}=-4j[/mm]
> >
> > [mm]\gdw a^{2}+2abj-b^{2}=-4j[/mm]
>
> -> verstanden.
>
> >
> > Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert:
> >
> > [mm]a^{2}-b^{2}=0[/mm]
> >
> > [mm]2ab=-4[/mm]
> >
>
> Das hab ich nicht ganz verstanden wie du auf die 2
> Gleichungen gekommen bist...
Nun, bei der komplexen Zahl a+bj sind [mm]a,b \in \IR[/mm]
>
> GLS lösen:
>
> [mm]a^2[/mm] - [mm]b^2[/mm] = 0
> [mm]a^2[/mm] = [mm]b^2[/mm]
> a = b
> 2ab = -4
> [mm]2a^2[/mm] = -4
> [mm]a^2[/mm] = -2
> a = Wurzel(-2)
> b = Wurzel(-2)
> r = [mm]Wurzel(a^2+b^2)[/mm]
> r = Wurzel(-4)
Da hier der Imaginärteil der komplexen Zahl negativ ist,
muß hier gelten a=-b, denn das Produkt 2ab ist nur negativ,
wenn a und b unterschiedliche Vorzeichen haben.
Damit bekommst Du für a bzw. b eine reelle Zahl heraus.
>
> So.
> Müsste ich nicht eigentlich r=Wurzel(4) haben damit der
> Faktor r=2 rauskommt ?
> Wo liegt der Fehler ?
>
> Den Winkel Phi der ersten Lösung, also 45 Grad habe ich
> damit dann aber noch nicht.. -> Wie bekomme ich den ?
Es gelten ja die Gleichungen:
[mm]a=r*\cos\left(\phi\right)[/mm]
[mm]b=r*\sin\left(\phi\right)[/mm]
Daraus ergeben sich sowohl r als auch der Winkel [mm]\phi[/mm]
Zu beachten ist hierbei, welche Vorzeichen a und b haben.
Dementstprechend ändert sich der Winkel.
>
> Danke für eure Geduld...
>
> Gruss
>
> Cortax88
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 So 21.03.2010 | | Autor: | Cortax88 |
Ok danke! Habe jetzt 2 * e^(j*45°) raus das ist ja richtig. :)
Die Aufgabe hab ich jetzt verstanden.
Und bei
[mm] x^3 [/mm] = 8j
wie geh ich da vor?
(Ergebnisse sollen in kartesischer Form angegeben werden.)
Da kann ich ja nicht mit Substitution anfangen...
Sorry, das ich eine 2te Aufgabe hier stelle aber ich blicke noch nicht so wirklich durch die Funktionalität dieses Forums hindurch. ;)
Gruß Cortax
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 So 21.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Wege, die ihr da oben gegangen seid sind viel zu kompliziert. Wurzeln zieht man IMMER mit der Polardarstellung. also z.Bsp
[mm] -16=16*e^{i*\pi+in*2\pi}
[/mm]
[mm] -16^{1/k}=16^{1/k}*e^{(i*\pi+in*2\pi)/k}; [/mm] n=0,1,..k-1
entsprechend
[mm] 8j=8*e^{i*\pi/2+in*2\pi}
[/mm]
und jetzt die 3 te Wurzel wieder n=0,1,2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 So 21.03.2010 | | Autor: | Cortax88 |
> Hallo
> die Wege, die ihr da oben gegangen seid sind viel zu
> kompliziert. Wurzeln zieht man IMMER mit der
> Polardarstellung. also z.Bsp
> [mm]-16=16*e^{i*\pi+in*2\pi}[/mm]
> [mm]-16^{1/k}=16^{1/k}*e^{(i*\pi+in*2\pi)/k};[/mm] n=0,1,..k-1
>
> entsprechend
> [mm]8j=8*e^{i*\pi/2+in*2\pi}[/mm]
> und jetzt die 3 te Wurzel wieder n=0,1,2
> Gruss leduart
Ok hab das mal für die Aufgabe [mm] x^3 [/mm] = 8j so gemacht mit der Polardarstellung. dann steht da:
8j = 8 * e^(j*90° + j*0*360°)
(habe als erstes n=0 eingesetzt)
Bleibt stehen:
8j = 8 * e^(j*90°) |:8
j = e^(j*90°)
Und wie komme ich von da nun zur Lösung x0 = Wurzel(3)+j ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 So 21.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo cortax!
Was rechnest Du denn da? Um die Wurzeln (es gibt immer mehrere im Komplexen!) zu berechnen, kannst Du z.B. die  Moivre-Formel verwenden.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 So 21.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst doch die 3 tte Wurzel ziehen und nicht durch 8 teilen??
Wie ziehst du die 3.te Wurzel aus 8?
wie die 3.te Wurzel aus [mm] e^a?
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 So 21.03.2010 | | Autor: | Cortax88 |
> Hallo
> du willst doch die 3 tte Wurzel ziehen und nicht durch 8
> teilen??
> Wie ziehst du die 3.te Wurzel aus 8?
> wie die 3.te Wurzel aus [mm]e^a?[/mm]
> Gruss leduart
Naja die 3te Wurzel aus 8 ist 2.
Und die 3te Wurzel aus [mm] e^a [/mm] ist e^(a/3).
Also wir haben:
8j = 8*e^(j*90°)
Wenn ich jetzt die dritte Wurzel ziehe hab ich:
2j = 2*e^(j*90°/3) oder?
und dann?
Sorry, ich bin wohl ein schwieriger Fall.. xD
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 So 21.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest doch [mm] z^3=8j. [/mm] dann ist [mm] z=(8j)^{1/3}=2*j^{1/3}
[/mm]
EIN WERT von [mm] j^{1/3} [/mm] ist [mm] e^{i\pi/6} [/mm] in deiner Gradschreibweise
[mm] e^{i*180°/6} [/mm] die anderen 2 Werte fehlen noch.
da j nicht nur [mm] e^{j*90°} [/mm] sondern auch [mm] e^{j*90°+360} [/mm] und [mm] e^{j*90°+2*360} [/mm] usw ist findes du die damit.
Irgenwie gehst du auf posts nicht ein. ich hatte dir allgemein geschrieben, wie man k te Wurzeln ausrechnet, und dann lieferst du einen einsamen Wert für die dritte Wurzel?
im komplexen hat di k te Wurzel einer Zahl immer k verschiedene Werte (auser z=0)
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 So 21.03.2010 | | Autor: | Cortax88 |
Cool jetzt funktioniert's !
[mm] x^3 [/mm] = 8j
x = [mm] 8j^1/3
[/mm]
x = 2 * [mm] j^1/3
[/mm]
[mm] j^1/3 [/mm] = e^(180°/6)
x0 = 2 * e^(j*30°)
r * e^(j*Phi) = r*(cos Phi + j * sin Phi)
= 2 * (cos(30°)+j*sin(30°))
= 2 * (Wurzel(3)/2 + j*1/2)
= Wurzel(3) + j
richtig! :D
Aber eine Frage hab ich noch: Wie hängt das j^ 1/3 mit dem PI/6 zusammen ?
Danke nochmal!
Gruß Cortax
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Hallo Cortax88,
> Cool jetzt funktioniert's !
>
> [mm]x^3[/mm] = 8j
> x = [mm]8j^1/3[/mm]
> x = 2 * [mm]j^1/3[/mm]
> [mm]j^1/3[/mm] = e^(180°/6)
>
> x0 = 2 * e^(j*30°)
> r * e^(j*Phi) = r*(cos Phi + j * sin Phi)
> = 2 * (cos(30°)+j*sin(30°))
> = 2 * (Wurzel(3)/2 + j*1/2)
> = Wurzel(3) + j
>
> richtig! :D
>
> Aber eine Frage hab ich noch: Wie hängt das j^ 1/3 mit dem
> PI/6 zusammen ?
Es gilt: [mm]j=e^{j*\bruch{\pi}{2}} [/mm]
Zieht man auf beiden Seiten die 3. Wurzel, so gilt:
[mm]\wurzel[3]{j}=j^{1/3}=\wurzel[3]{e^{j*\bruch{\pi}{2}} }=e^{j*\bruch { \bruch{\pi}{2}+2k\pi}{3}}[/mm]
Für k=0 demnach
[mm]e^{j*\bruch { \bruch{\pi}{2}+2*0*\pi}{3}}=e^{j*\bruch{\pi}{6}}[/mm]
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> Danke nochmal!
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> Gruß Cortax
Gruss
MathePower
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