komplexe und reele JNF+Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Sa 28.04.2007 | | Autor: | grashalm |
| Aufgabe | Bestimmen sie zuerst eine komplexe und dann eine reele JNF der Matrix
[mm] A:=\pmat{ 3 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1} [/mm] und geben sie in beiden Fällen auch eine Jordanbasis an.
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Hallo,
so ich hab als charakteristisches Polynom [mm] (x-3)*(x^{2}-2*x+2)
[/mm]
So also EW: 3; 1+i ;1-i
also als komplexe [mm] JNF:=\pmat{ 3 & 0 & 0\\ 0 & 1+i & 0\\ 0 & 0 & 1-i}
[/mm]
1.Frage bei 3 verschiedenen EW können ja nur Jordankästchen der Größe 1 auftreten oder?
So die reele [mm] JNF:=\pmat{ 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0}
[/mm]
sieht diese so aus?
mh und bei den Basen hab ich immer Probleme kann mir da nochmal wer helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Sa 28.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
Die komplexe JNF ist richtig.
Eine J-Basis erhälst Du hier ganz leicht, indem Du zu den 3 paarweise disjunkten Eigenwerten jeweils einen Eigenvektor berechnest. (Ich gehe davon aus, dass Du das kannst.)
Die reelle JNF ist falsch. Deine Matrix besitzt gar nicht mehr das von Dir angegeben charakteristische Polynom.
Zur reellen JNF:
1) Nimm einen Eigenvektor zum Eigenwert 3
2) Setze in [mm] x^2-2x+2 [/mm] Deine Matrix A ein und berechne hiervon eine Basis des Kerns.
Aus 1) und 2) erhälst Du eine Jordan-Basis für die reelle JNF.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Sa 28.04.2007 | | Autor: | grashalm |
Danke für die schnelle Reaktion.
Mh nochmal zu der reelen Matrix stehen da nicht realteile unter bzw. über der Diagonalen?
Zu den Eigenvektoren mh also hab ich (1;0;0);(1;1+2i;-2+i);(1;1-2i;-2-i)
was ja dann meine komplexe Basis ist.
Bei der reelen hab ich ja auch (1;0;0)
wie meinst das mit dem A da in die Gleichung einsetzen für x?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:27 So 29.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
Die reelle JNF wäre dann wohl
$ [mm] JNF:=\pmat{ 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1}$
[/mm]
oder
$ [mm] JNF:=\pmat{ 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1}$
[/mm]
(musst Du zur Not mit Deiner Vorlesung vergleichen)
Zum Einsetzen der Matrix:
Du kannst Matrizen bzw. Endomorphismen ganz normal in Polynome einsetzen, statt x nimmst Du dann halt Deine Matrix A bzw. Deinen Endomorphismus.
Das Minimalpolynom einer Matrix ist beispielsweise das normierte Polynom kleinsten Grades mit der Eigenschaft p(A)=0 (Nullabbildung, also die Nullmatirx).
Wenn Du [mm] $B:=A^2-2*A+2E_3$ [/mm] berechnest, wirst Du eine Matrix mit Rang 1 erhalten. Der Kerns dieser Matrix $B$ ist ein A-invarianter Unterraum.
Für eine reelle Jordambasis benötigst Du dann noch eine passende Basis dieses Unterraumes. (Eine beliebige Basis reicht hier nicht aus, um den speziellen 2x2 Block der Form [mm] $\pmat{ & 1 & 1\\& 1 & -1}$ [/mm] zu erhalten.) Vielleicht bekommst Du das selber hin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 So 29.04.2007 | | Autor: | grashalm |
Also wir hatten einmal ein Bsp: da waren die Eigenwerte
[mm] 0;0;i\wurzel{2};-i\wurzel{2}
[/mm]
da haten wir als [mm] komplexe:\pmat{ 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i\wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i\wurzel{2}}
[/mm]
und als [mm] reele:\pmat{ 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \wurzel{2} \\ 0 & 0 & -\wurzel{2} & 0}
[/mm]
Also würde ich in meiner Aufgabe das so machen: [mm] \pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 }
[/mm]
mh zu der Basis also für [mm] B=\pmat{ 5 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
mh dazu Basen im kern. mh aber denk mal die sind fast zu beliebig.
(1,-5,0);(0,2,1)
und den den ich schon hatte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 So 29.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
Die reelle
$ [mm] JNF:=\pmat{ 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1} [/mm] $
Wenn Du einen irreduzibeln Teiler vom Grad 2 im char. Polynom hast, hier ist das [mm] $p(x)=x^2-2x+2$, [/mm] dann gibt es zwei echt komplexe, zueinander konjugierte Nullstellen, hier: $1+i$ und $1-i$.
Allgemein: [mm] $z_1=a+bi$ [/mm] und [mm] $z_2=a-bi$
[/mm]
Der entsprechende $2 [mm] \times [/mm] 2$ Block in der reellen JNF lautet dann:
[mm] $\pmat{ a & b \\ -b & a} [/mm] $ (Du kannst ja mal das char. Polynom von diesem Block berechnen und die komplexen Nullstellen angeben!)
Zu Deiner Basis:
Da hast Du Dich bestimmt vertippt:
[1,5,0] wäre besser!
Wenn Du nun aber die Basis
[1,0,0], [1,5,0], [0,2,1]
nimmst und eine Darstellung von A zu dieser Basis berechnest, kommt folgendes heraus:
[mm] $\pmat{ 3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 1\\ 0 & -5 & -1} [/mm] $
Hier besitzt der 2 x 2 Block noch nicht die gewünschte Form!
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