komplexe zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 So 07.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo, ich hätte fragen zu zwei aufgaben.
[Dateianhang nicht öffentlich]
bei der ersten, muss ich ja mal alles auf eine seite bringen oder? nur wie vereinfache ich dann da ich ja z und i auf der gleichen seite habe?
bei der zweiten hab ich eigentlich keinen plan wie ich das angehen könnte.
DANKE
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 So 07.10.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Dagobert,
bei der ersten Aufgabe substituierst Du am einfachsten durch [mm] z = x + iy [/mm] und setzt diesen Ausdruck in die linke Seite ein und holst die rechte Seite auch auf die linke Seite rüber. Aufteilen der linken seite nach Real- und Imaginärteil. Real- und Imaginärteil der linken Seite der Gleichung müssen dann jeweils zu Null gesetzt werden und daraus bekommst Du die Lösung der Gleichung.
Bei der zweiten Aufgabe ist es reines Einsetzen, wobei Dir die Korrespondenz
$$ [mm] e^{z} [/mm] = [mm] e^{x + iy} [/mm] = [mm] e^x [/mm] (cos y + i sin y) $$ sicherlich weiterhilft.
Viel Erfolg wünscht
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 So 07.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
zu1. wenn ich dann z = x + iy für z einsetze, muss ich dann das quadrat und die zwei klammer auf der linken seite ausmultiplizieren. weil da hängt das x dann wieder mit dem i zusammen?
zu 2. dh ich muss $ [mm] e^{z} [/mm] = [mm] e^{x + iy} [/mm] = [mm] e^x [/mm] (cos y + i sin y) $ einsetzen und nachher für z einsetzen?
DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 So 07.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> zu1. wenn ich dann z = x + iy für z einsetze, muss ich
> dann das quadrat und die zwei klammer auf der linken seite
> ausmultiplizieren. weil da hängt das x dann wieder mit dem
> i zusammen?
Ja, musst du!
Wenn du komplexe wurzeln ziehen kannst kannst du die Quadr. Gl. aber auch mit pq formel bzw. quadratischer Ergänzung lösen.
>
> zu 2. dh ich muss [mm]e^{z} = e^{x + iy} = e^x (cos y + i sin y)[/mm]
> einsetzen und nachher für z einsetzen?
So geht es auf jeden Fall. vielleicht ist noch sehr nützlich dass [mm] i=e^{i*\pi/2}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 So 07.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
zu1:
wenn ich für z einsetze erhalte ich dann: [mm] (x+iy)^2 [/mm] + (2-i)(x+iy) = 5i-9 und wenn ich das dann ausmultipliziere [mm] x^2 [/mm] + 2xyi [mm] +i^2y^2 [/mm] + 2x - ix + 2iy -i^2y = 5i-9 oder? Nur wie muss ich dann weitermachen?
zu 2. Nur was setze ich dann für z strich ein? bzw was sollte das ergebnis dann darstellen?
danke! bin leider mit den komplexen zahlen ne komplette null....
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Hallo Dagobert,
> hallo!
>
> zu1:
> wenn ich für z einsetze erhalte ich dann: [mm](x+iy)^2[/mm] +
> (2-i)(x+iy) = 5i-9 und wenn ich das dann ausmultipliziere
> [mm] x^2+ [/mm] 2xyi [mm] +i^2y^2+ [/mm] 2x - ix + 2iy -i^2y = 5i-9 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") oder? Nur
> wie muss ich dann weitermachen?
Bedenke noch, dass [mm] $i^2=-1$ [/mm] gilt und bringe alles auf eine Seite.
Dann sortiere den rein reellen Teil und den rein komplexen Teil
($i$ ausklammern)
Dann hast du sowas: [mm] $(x^2-y^2+2x+y+9)+i\cdot{}(2xy+2y-x-5)=0\, (=0+0\cdot{}i)$
[/mm]
Nun musst du nen Koeffizientenvergleich machen , Realteil und Imaginärteil einer komplexen Zahl sind eindeutig, also hast du ein GS:
(1) [mm] $x^2-y^2+2x+y+9=0$
[/mm]
(2) $2xy+2y-x-5=0$
Das ist aber äußerst unschön zu lösen, halte dich lieber an leduarts Tipp mit der quadratischen Ergänzung..
> zu 2. Nur was setze ich dann für z strich ein? bzw was
> sollte das ergebnis dann darstellen?
>
> danke! bin leider mit den komplexen zahlen ne komplette
> null....
Wenn [mm] $z=x+i\cdot{}y$ [/mm] ist, so ist [mm] $\overline{z}=x\red{-}i\cdot{}y$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
Ok das erste is soweit mal klar, DANKE dafür.
nur beim 2. wenn ich bei [mm] e^z+ie^z(strich) [/mm] für
z=x+iy und z(strich)=x-iy einsetze, wie muss ich dann weitermachen?
weil ich habe ja z=2,7+1,3i auch definiert?
danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dagobert!
[mm] $$e^z+i*e^{\overline{z}} [/mm] \ = \ [mm] e^{x+i*y}+i*e^{x-i*y} [/mm] \ = \ [mm] e^x*\left[\cos(y)+i*\sin(y)\right]+i*e^x*\left[\cos(-y)+i*\sin(-y)\right] [/mm] \ = \ [mm] e^x*\left[\cos(y)+i*\sin(y)\right]+e^x*\left[i*\cos(y)+\sin(y)\right] [/mm] \ = \ [mm] e^x*\left[\sin(y)+\cos(y)+i*[\sin(y)+\cos(y)]\right] [/mm] \ = \ ...$$
Und nun aus $z \ := \ 2.7+1.3*i$ die Werte $x \ := \ 2.7$ sowie $y \ := \ 1.3$ einsetzen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
Danke vielmals! Muss ichs dann mit radiant ausrechen?
zu 1 hätt ich noch eine Frage: weiß nicht genau wie ich jetzt
(1) [mm] x^2-y^2+2x+y+9=0
[/mm]
(2) 2xy+2y-x-5=0
am besten lösen kann? bzw wie das mit der quadratischen ergänzung genau geht. danke
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Hallo Dagobert,
ja das ist ja der Mist, dieses blöde Gleichungssystem ist kacke zu lösen.
Darum versuche lieber ne quadratische Ergänzung in der Ausgangsgleichung:
Das funktioniert quasi wie im Reellen
Das war: [mm] $z^2+(2-i)z=5i-9$
[/mm]
Also ist der Ansatz:
[mm] $\Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2-\left(\frac{2-i}{2}\right)^2=5i-9$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2-\frac{3-4i}{4}=5i-9$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2=5i-9+\frac{3-4i}{4}=\frac{-33+16i}{4}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{-33+16i}}{2}\right)^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow z+\frac{2-i}{2}=\pm\frac{\sqrt{-33+16i}}{2}$
[/mm]
Nun du weiter...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Di 09.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
Und wie könnte man diese zwei Gleichungen jetzt lösen? Also nicht mit der quadratischen Ergänzung durch die Anfangsglg.
(1) [mm] x^2-y^2+2x+y+9=0
[/mm]
(2) 2xy+2y-x-5=0
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Di 09.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dagobert!
Löse die 2. Gleichung z.B. nach $x \ = \ ...$ um und setze in die 1. Gleichung ein.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Di 09.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
wenn ich x umforme komme ich auf x=(5-2y)/(2y-1) das setz ich dann in (1) ein.
wenn ich dann einsetze erhalte ich [mm] [(5-2y)/(2y-1)]^2 -y^2 [/mm] + (10-4y)/(4y-2) + y+ 9 =0 dann vereinfache ich und komme auf 5 - [mm] y^2 [/mm] + (10-4y)/(4y-2) + y+ 9 = 0 ??
stimmt das soweit mal?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Di 09.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> hallo!
>
> wenn ich x umforme komme ich auf x=(5-2y)/(2y-1) das setz
> ich dann in (1) ein.
>
> wenn ich dann einsetze erhalte ich [mm][(5-2y)/(2y-1)]^2 -y^2[/mm] +
> (10-4y)/(4y-2) + y+ 9 =0 dann vereinfache ich und komme auf
> 5 - [mm]y^2[/mm] + (10-4y)/(4y-2) + y+ 9 = 0 ??
nein! [mm] [(5-2y)/(2y-1)]^2 [/mm] ist sicher nicht 5 hast du etwa aus Summen gekürzt oder wie kommst du auf 5?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Di 09.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
in der ersten klammer habe ich ja [mm] [(5-2y)/(2y-1)]^2 [/mm] ... wie vereinfach ich das dann am einfachsten. wenn ichs quadriere hab ich zwei quadratische gleichungen.
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Di 09.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dagobert!
> in der ersten klammer habe ich ja [mm][(5-2y)/(2y-1)]^2[/mm] ... wie
> vereinfach ich das dann am einfachsten.
Wende die  binomische Formeln an. Anschließend (oder gleich) die Gleichung mit [mm] $(2y-1)^2$ [/mm] multiplizieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Di 09.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
also wenn ich ausgehe von:
[mm] [(5-2y)/(2y-1)]^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] + 2*[(5-2y)/(2y-1)] + y + 9 = 0
schreib ichs um auf
[mm] (5-2y)^2/(2y-1)^2 [/mm] + 2*(5-2y)/2*(2y-1) = [mm] y^2 [/mm] - y -9
und komme dann auf [mm] (5-2y)^2 [/mm] + [mm] (5-2y)*(2y-1)^2 [/mm] = [mm] (y^2-y-9)*(2y-1)^2 [/mm] ???
stimmt das?
danke
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Hallo Dagobert,
da scheint mir aber etwas nicht zu stimmen:
> hallo!
>
> also wenn ich ausgehe von:
>
> [mm][(5-2y)/(2y-1)]^2[/mm] - [mm]y^2[/mm] + 2*[(5-2y)/(2y-1)] + y + 9 = 0
>
> schreib ichs um auf
>
[mm] >(5-2y)^2/(2y-1)^2+ [/mm] 2*(5-2y)/2*(2y-1) = [mm] y^2 [/mm] - y -9 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie kommt da beim zweiten Bruch die 2 in den Nenner??
>
> und komme dann auf [mm](5-2y)^2[/mm] + [mm](5-2y)*(2y-1)^2[/mm] =
> [mm](y^2-y-9)*(2y-1)^2[/mm] ???
>
> stimmt das?
irgendwie nicht so ganz...
>
> danke
>
Ich komme auf:
[mm] $\left(\frac{5-2y}{2y-1}\right)^2+2\cdot{}\left(\frac{5-2y}{2y-1}\right)=y^2-y-9$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{5-2y}{2y-1}\cdot{}\left[\frac{5-2y}{2y-1}+2\right]=y^2-y-9$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{5-2y}{2y-1}\cdot{}\left[\frac{5-2y+4y-2}{2y-1}\right]=y^2-y-9$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{5-2y}{2y-1}\cdot{}\frac{2y+3}{2y-1}=y^2-y-9$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (5-2y)(2y+3)=(y^2-y-9)(2y-1)^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 10y+15-4y^2-6y=4y^4-4y^3+y^2-4y^3+4y^2-y-36y^2+36y-9$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 4y^4-8y^3-27y^2+31y-24=0$
[/mm]
Also auch nichts wirklich Schönes...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
aso danke (:
nur wie kann man das beispiel dann lösen? weil [mm] 4y^4-8y^3-27y^2+31y-24=0 [/mm] ist ja wirklich nicht gerade schön..
danke!
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Hallo Dagobert,
von Hand ein Polynom 4. Grades auszurechnen ist sehr mühsam, wenn man die exakten Lösungsformel von Cardano und Ferrari benutzt (ich hab mir mal Excel-Tabellen dafür geschrieben, dann gehts schneller).
Mit Ferrari reduziert sich die Gleichung auf
[mm] (u^{2} [/mm] - [mm] 4,125)^{2} [/mm] = 21,015625 (die 4 Lösungen hat)
mit [mm] y_{1,2,3,4} [/mm] = [mm] u_{1,2,3,4} [/mm] -0,5
Das Näherungsverfahren von Newton ist meistens schneller als die exakten Lösungsformeln, wenn es reelle Lösungen gibt (hier zwei).
Wenn man ein CAS verwenden darf, geht natürlich auch Mathematica o.ä.
Herauskommen tut jedenfalls
[mm] x_{1} [/mm] = -0,3223 [mm] y_{1} [/mm] = 3,4511
[mm] x_{2} [/mm] = -1,6777 [mm] y_{2} [/mm] = -2,4511
mit chemischen Grüßen,
Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
danke! dh mit den vier ergebnissen ist das beispiel beendet.
aber einfacher kann man es nicht lösen oder? weil eine gleichung vierten grades is schon derb *g*
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Hallo Dagobert,
wie gesagt, wenn Du bei deinem Gleichungssystem das Einsetzungsverfahren anwendest und dann auf eine Gleichung 4. Grades kommst, bleibt dir nur Newton oder Ferrari.
Einfacher ist es natürlich, die 2 Wege zu beschreiten, die Leduart vorgeschlagen hat: quadratische Ergänzung bzw. mit der p,q-Formel die komplexe Wurzel ziehen:
$(z [mm] +1-\bruch{1}{2}i)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{-33}{4}+4i$ [/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
dh nach dem ansatz:
$ [mm] \Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2-\left(\frac{2-i}{2}\right)^2=5i-9 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2-\frac{3-4i}{4}=5i-9 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2=5i-9+\frac{3-4i}{4}=\frac{-33+16i}{4} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow\left(z+\frac{2-i}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{-33+16i}}{2}\right)^2 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow z+\frac{2-i}{2}=\pm\frac{\sqrt{-33+16i}}{2} [/mm] $
nur wie kommt man da von der angabe zum ersten schritt? mit dem 2-i/2
bzw wie muss ich dann nach
$ [mm] \Rightarrow z+\frac{2-i}{2}=\pm\frac{\sqrt{-33+16i}}{2} [/mm] $
weiterverfahren?
danke!
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Hallo Dagobert,
um die Wurzel aus einer komplexen Zahl zu ziehen, musst Du die kartesische in die Exponentialform umwandeln:
[mm] \wurzel{\bruch{-33}{4}+4i} [/mm] = [mm] \wurzel{9,1686*e^{i(2,6901+k*2\pi})}
[/mm]
mit k = 0,1
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Do 11.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
hätte eine frage zu so einem ähnlichen beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
da bekomm ich dann raus:
[mm] 4y^4+8y^3+33y^2+99y+28=0 [/mm] stimmt das?
nur ich hab leider kein programm das mir das ausrechnen kann.
danke!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Do 11.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
son Programm zur exakten Lösung gibts wohl kaum, d.h. wenn man keine Lösung raten und rausdividieren kann ist man aufgeschmissen. Da der Weg eh zu nix führt hab ich nicht nachgerechnet, das ist für uns ja auch Arbeit!
Du musst eh lernen komplexe Wurzeln zu beherrschen, also nimm die pq Formel bezw. quadratische ergänzung.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Do 11.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
das heisst bei der angabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
ist dann der ansatz:
[mm] (z+(5+i)/2)^2 [/mm] - [mm] ((5+i)/2)^2 [/mm] = 7 -2i?
danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Do 11.10.2007 | | Autor: | leduart |
Ja!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Do 11.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
d.h wenn ich das dann weiterumforme, bin ich auf
z + [(5+i)/2] = [mm] \pm \wurzel{52+2i} [/mm] / 2 ??
gekommen..
nur wie gehz dann weiter??
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Do 11.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hatte dir schon geschrieben wie man ne komplexe Wurzel zieht. Es ist frustig, wenn darauf als Echo ne Frage kommt ohne darauf einzugehen:
Ivh hab unter der Wurzel 51+2i raus, rechne nochmal nach.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Do 11.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo,
sry =( tut mir leid, nur schön langsam nervt das beispiel gg
wenn ich nur den teil unter der wurzel betrachte, als 51+2i
dann kann ich mir ja r und phi ausrechnen. und muss ich dann die formel von moivre anwenden?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Do 11.10.2007 | | Autor: | leduart |
JA
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Do 11.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
dann bekomme ich für r=51.04 und phi=177,75 raus.
wenn ich das einsetze erhalte ich bei k=0 --> [mm] \wurzel{51,04} [/mm] und 88,5°
und bei k=1 --> [mm] \wurzel{51,04} [/mm] und 268,5° ??
danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Do 11.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
dh phi=2,25° , bekomm ich eh auch raus, 177,75 is die diff. zu 180.
und dann muss ich ihn die moivre formel einsetzen.
= [mm] \wurzel{r} [/mm] +[(cos(2,25+k*360))/2] + isin(2,25+k*360))]
dh bei k= 0 dann z1= [mm] \wurzel{51,04} [/mm] , 1,13°
und bei k=1 dann z2= [mm] \wurzel{51,04} [/mm] , 181,13°
??
bzw wie ich bei dem bsp dann weitermachen muss.
danke!
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Hi nochmal,
das kapiere ich jetzt auch nicht ganz. Wieso die Moivre-Formel?
Wenn ich das hier noch überblicke im post ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") , wolltest du
[mm] $\pm\underbrace{\sqrt{51+2i}}_{=\sqrt{w}}$ [/mm] berechnen.
Dann hast du nun richtig berchnet [mm] $w=51,04\cdot{}e^{i\cdot{}2,25°}$
[/mm]
Also [mm] $=\pm\sqrt{51,04\cdot{}e^{i\cdot{}2,25°}}=\pm\sqrt{51,04}\cdot{}\sqrt{e^{i\cdot{}2,25°}}=\pm 7,144\cdot{}\left(e^{i\cdot{}2,25°}\right)^{\frac{1}{2}}=\pm 7,144\cdot{}e^{i\cdot{}1,125°}$
[/mm]
Das hat leduart doch schon allg. beschrieben in einem der anderen posts
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Do 11.10.2007 | | Autor: | Martinius |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ich meine, es hat sich am Anfang ein Rechenfehler eingeschlichen.
$z^{2}+(5+i)*z=7-2i$
$\left(z+\bruch{5}{2}+\bruch{i}{2}\right)^{2}-(\bruch{5}{2}+\bruch{i}{2})^{2}= 7-2i$
$\left(z+\bruch{5}{2}+\bruch{i}{2}\right)^{2}-6-\bruch{5}{2}i= 7-2i$
$\left(z+\bruch{5}{2}+\bruch{i}{2}\right)^{2}=13+\bruch{i}{2}= \bruch{52+2i}{4}=13,0096*e^{0,0384+k*2 \pi}$
$z_{1,2} = \bruch{-5}{2}-\bruch{i}{2}\right) \pm (3,606218+i0,069325)$
$z_{1} = -6,1062 - 0,5693i$
$z_{2} = 1,1062 - 0,4307i$
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Di 09.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
muss ich da auf beiden seiten mit y einsetzen?
hab als ergebnis 15,2 + i*15,2 erhalten ??
danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Di 09.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dagobert!
Ich habe ein anderes Ergebnis erhalten mit [mm] $\approx [/mm] \ 18.32*(1+i)$ .
Hast Du Deinen Taschenrechner auch auf Bogenmaß [mm] $\left[\text{RAD}\right]$ [/mm] gestellt?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Di 09.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
Aja, hab nicht auf rad umgestellt.
DANKE!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Di 09.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
hätte hier noch eine kurze frage. ich kapier nicht ganz den schritt wie man das -y wegbekommt ( .. [mm] +i*e^x [/mm] * [cos(-y)+i*sin(-y)] ??
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Di 09.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dagobert!
Du meinst, wie die Minuszeichen vor [mm] $\red{-} [/mm] \ y$ plötzlich verschwunden sind?
Da habe ich die Symmetrieeigenschaften der [mm] $\sin$- [/mm] bzw. [mm] $\cos$-Funktion [/mm] ausgenutzt mit:
[mm] $$\sin(-\alpha) [/mm] \ = \ [mm] -\sin(\alpha)$$
[/mm]
[mm] $$\cos(-\alpha) [/mm] \ = \ [mm] +\cos(\alpha)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Do 11.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
ich hätte eine frage zu einem ähnlichen beispiel. und zwar:
[Dateianhang nicht öffentlich]
wenn ich hier für z=x+iy einsetze und für z(strich)=x-iy wie kann ich es dann vereinfachen. denn ich hab ja die formel für
$ [mm] e^z+i\cdot{}e^{\overline{z}} [/mm] \ = \ [mm] e^{x+i\cdot{}y}+i\cdot{}e^{x-i\cdot{}y} [/mm] \ = \ [mm] e^x\cdot{}\left[\cos(y)+i\cdot{}\sin(y)\right]+i\cdot{}e^x\cdot{}\left[\cos(-y)+i\cdot{}\sin(-y)\right] [/mm] \ = \ [mm] e^x\cdot{}\left[\cos(y)+i\cdot{}\sin(y)\right]+e^x\cdot{}\left[i\cdot{}\cos(y)+\sin(y)\right] [/mm] \ = \ [mm] e^x\cdot{}\left[\sin(y)+\cos(y)+i\cdot{}[\sin(y)+\cos(y)]\right] [/mm] \ = \ ... $
kann ich dann das i vorm ...+ [mm] i*e^x [/mm] einfach weglassen?
danke!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Do 11.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] e^{2z}+e^{\overline{z}}
[/mm]
ist doch nicht
[mm] e^z+i\cdot{}e^{\overline{z}} [/mm] ?
sondern [mm] e^{2x}*e^{i*2y}-e^x*e^{-i*\phi}
[/mm]
du solltest das mal graphisch auftragen!
[mm] e^{ir} [/mm] liegt immer auf dem Einheitskreis, [mm] \phi [/mm] gibt den Winkel zur reellen Achse, [mm] e^{r} [/mm] ist reell, gibt also den Betrag von z.
d.h. [mm] e^{2x+2iy} [/mm] at die Länge e^2x und den Winkel 2y zur x-Achse.
Wenn man sich das veranschaulicht, kann man seine Rechnungen besser kontrollieren.
Natürlich kann man in ner Rechnung bei [mm] i*e^x [/mm] i nicht weglassen. denn [mm] i*e^x [/mm] ist rein imaginär, [mm] e^x [/mm] rein reell.
due kannst aber natürlich realteil und Imafinärteil eizeln schreiben und dabei natürlich den Imaginärteil ohne i hinschreiben, meinst du das?
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Do 11.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
also ist [mm] $e^{2z}+e^{\overline{z}}$ [/mm] $ [mm] e^{2x}\cdot{}e^{i\cdot{}2y}-e^x\cdot{}e^{-i\cdot{}\phi} [/mm] $
wenn ich jetz für $ [mm] e^{2z}+e^{\overline{z}} [/mm] $ einsetze erhalte ich ja
e^[2(x+iy)] - e^(x-iy) oder?
aber wie vereinfache ich das jetzt da ich ja vorm zweiten e kein i haben.
kann ich das dann einfach so anschreiben?
e^[2(x+iy)] - e^(x-iy) = [mm] e^x [/mm] (cosy+isiny) + [mm] e^x [/mm] (cos-y+sin-y) ?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Do 11.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> hallo!
>
> also ist [mm]e^{2z}+e^{\overline{z}}[/mm]
> [mm]e^{2x}\cdot{}e^{i\cdot{}2y}-e^x\cdot{}e^{-i\cdot{}\phi}[/mm]
das [mm] \Phi [/mm] muss ein y sein!
> wenn ich jetz für [mm]e^{2z}+e^{\overline{z}}[/mm] einsetze erhalte
> ich ja
>
> e^[2(x+iy)] - e^(x-iy) oder?
>
> aber wie vereinfache ich das jetzt da ich ja vorm zweiten e
> kein i haben.
>
> kann ich das dann einfach so anschreiben?
>
> e^[2(x+iy)] - e^(x-iy) = [mm]e^x[/mm] (cosy+isiny) + [mm]e^x[/mm]
> (cos-y+sin-y) ?
etwas sorgfältiger bitte, wo bleibt die 2?
e^[2(x+iy)] - e^(x-iy) = [mm]e^{2x}[/mm] (cosy+isiny) + [mm]e^x*(cosy-isiny)[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Do 11.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
danke! kann ich da jetzt gleich einsetzen (für x & y) und nachher zusammenfassen oder muss ich das vorher noch vereinfachen?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Do 11.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du löst nach z auf, nicht x+iy!
bis da steht z [mm] =a\pm\wurzel{c+d} [/mm] a,b,c komplex. dann die Wurzel ziehen indem man c+d = [mm] A*e^{i/phi} [/mm] schreibt,und [mm] \wurzel{c+d}=\wurzel{A}*e^{i\phi/2} [/mm] .
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Do 11.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
wenn ich von der gleichung
[mm] e^2(x+iy) [/mm] - [mm] e^x-iy [/mm] = e^2x(cosy+isiny) + [mm] e^x(cosy+isiny) [/mm] ausgehe.
wie muss ich da weitermachen? weil die werte für x und y hab ich ja gegeben mit z=2,7+1,3i. kann ich da jetzt nicht einfach einsetzen?
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Do 11.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> hallo!
>
> wenn ich von der gleichung
>
> [mm]e^2(x+iy)[/mm] - [mm]e^x-iy[/mm] = e^2x(cosy+isiny) + [mm]e^x(cosy+isiny)[/mm]
> ausgehe.
>
> wie muss ich da weitermachen? weil die werte für x und y
> hab ich ja gegeben mit z=2,7+1,3i. kann ich da jetzt nicht
> einfach einsetzen?
überprüf deine Gleichungen, die sind noch falsch, dann einsetzen was sonst?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Do 11.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo.
als gleichung habe ich:
e^2z - [mm] e^z(strich) [/mm] = e^[2(x+iy)] - e^(x-iy) = (e^2x) * (cosy+isiny) + [mm] (e^x) [/mm] * (cosy-isiny) oder?
und dann für x & y einsetzen komme ich auf:
-4,47 + 4,09i
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Do 11.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> hallo.
>
> als gleichung habe ich:
>
> e^2z - [mm]e^z(strich)[/mm] = e^[2(x+iy)] - e^(x-iy) = (e^2x) *
> (cosy+isiny) + [mm](e^x)[/mm] * (cosy-isiny) oder?
ODER!
[mm] e^{(2x+i*2y)} [/mm] wo bleiben bei dir die 2 bei y?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Do 11.10.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
welchen 2er bei y meinst du?
e^2x * (cosy+isiny) + [mm] e^x [/mm] * (cosy-isiny)
meinst du vor der ersten klammer?
danke!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Dagobert,
deine Umformung ist falsch.
Mache es entweden wie leduart sagt:
$e^{2(x+iy)}-e^{x-iy}=e^{2x+i2y}-e^{x-iy}$ usw.
oder "auf deine Art" 
$e^{2(x+iy)}-e^{x-iy}=e^{x+iy}\cdot{}e^{x+iy}-e^{x-iy}=e^x\cdot}e^{iy}\cdot{}e^x\cdot{}e^{iy}-e^x\cdot{}e^{-iy}$
$=e^{2x}\cdot{}\left[\cos(y)+i\sin(y)\right]\red{^2}-e^x\cdot{}\left[\cos(-y)+i\sin(-y)\right]=...$
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 So 07.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Ergebnis der 2. Frage musst du wohl in der form a+ib oder [mm] r*e^{i*\varphi} [/mm] angeben.
Gruss leduart
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
raus.
