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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Mi 12.11.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Die Lösungsmenge in den komplexen zahlen für die gleichung a|z|²+ [mm] \overline{b}z+b\overline{z}+c=0
[/mm]
mit a, c [mm] \in \IR, b\in \IC [/mm] und |b|²-ac>0 ist ein kreis oder eine gerade. |
hallo,
also als anhaltspunkt habe ich, dass die 2 fälle a=0 und a [mm] \not= [/mm] 0 auftreten können.
für a=0 ergibt sich dann eine gerade...ich habe obige gleichung umgeformt bis am ende 2Rebx+2Imby+c=0 dasteht und das entspricht ja schließlich der allg. form einer gerade, oder?!
aber für a [mm] \not=0 [/mm] komme ich einfach nicht weiter! wie forme ich um?
ich habs auch schon in die andere richtung versucht, bin von der kreisgleichung ausgegangen:
[mm] z_m [/mm] ist mein mittelpunkt damit ergibt sich [mm] |z-z_m|=r [/mm] und [mm] r²=(z-z_m)\overline{(z-z_m)}=.....=|z|²- \overline{z_m}z-z_m\overline{z}+|z_m|² [/mm] aber entspricht dies nun genau der obigen gleichung?
gruß und dank
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> Die Lösungsmenge in den komplexen zahlen für die gleichung
> a|z|²+ [mm]\overline{b}z+b\overline{z}+c=0[/mm]
> mit a, c [mm]\in \IR, b\in \IC[/mm] und |b|²-ac>0 ist ein kreis
> oder eine gerade.
> hallo,
>
> also als anhaltspunkt habe ich, dass die 2 fälle a=0 und a
> [mm]\not=[/mm] 0 auftreten können.
> für a=0 ergibt sich dann eine gerade...ich habe obige
> gleichung umgeformt bis am ende 2Rebx+2Imby+c=0 dasteht und
> das entspricht ja schließlich der allg. form einer gerade,
> oder?!
>
> aber für a [mm]\not=0[/mm] komme ich einfach nicht weiter! wie forme
> ich um?
> ich habs auch schon in die andere richtung versucht, bin
> von der kreisgleichung ausgegangen:
> [mm]z_m[/mm] ist mein mittelpunkt damit ergibt sich [mm]|z-z_m|=r[/mm] und
> [mm]r²=(z-z_m)\overline{(z-z_m)}=.....=|z|²- \overline{z_m}z-z_m\overline{z}+|z_m|²[/mm]
> aber entspricht dies nun genau der obigen gleichung?
>
> gruß und dank
hallo jura,
eine Möglichkeit wäre, mittels z=x+iy und b=u+iv
alles mit reellen Variablen und Parametern darzustellen
und zu zeigen, dass man auf eine Kreisgleichung im [mm] \IR^2
[/mm]
kommt.
Alternativ kannst du im Komplexen bleiben und wegen
[mm] a\not=0 [/mm] zuerst alles durch a dividieren. Dann musst du
versuchen, die Gleichung auf die Form [mm] |z-z_m|=r^2 [/mm] zu
bringen, wie du schon erläutert hast. Dabei müsstest
du aber klar aufzeigen können, wie [mm] z_m [/mm] und r aus den
übrigen Parametern berechnet werden.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mi 12.11.2008 | | Autor: | jura |
> > von der kreisgleichung ausgegangen:
> > [mm]z_m[/mm] ist mein mittelpunkt damit ergibt sich [mm]|z-z_m|=r[/mm]
> und
> > [mm]r²=(z-z_m)\overline{(z-z_m)}=.....=|z|²- \overline{z_m}z-z_m\overline{z}+|z_m|²[/mm]
> > aber entspricht dies nun genau der obigen gleichung?
kannst du mir an dieser stelle noch weiterhelfen?
und ja, durch a habe ich auch schon geteilt, abe r dann weiß ich nicht mehr weiter!
wär echt froh über weitere tipps!
danke
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ich glaube es sollte klappen mit
[mm] z_m=-\bruch{b}{a}
[/mm]
setze dies mal ein und schau, was passiert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Mi 12.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja das entspricht der obigen Gleichung.
Bring die Mittelpunksgleichung noch auf die Form=) und vergleich dann einfach die Koeffizienten. nachdem du auch oben [mm] |z|^2 [/mm] durch [mm] z\overline{z} [/mm] ersetzt hast. dann hast du doch [mm] b/a=z_m [/mm] usw. nur noch die bedingung fuer abc nachpruefen. fertig.
natuerlich kannst du auch die obere Gleichung durch Vergleich mit der unteren einfach auf die Mittelpkts form bringen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Mi 12.11.2008 | | Autor: | jura |
jetzt weiß ich gar nich mehr, was obige und andere...gleichung ist?? und wie kommt ihr auf [mm] z_m=-b/a??? [/mm] und was soll ich in mittelpunktsform umformen?
gruß und dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mi 12.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
obere Gleichung:
I) [mm] |z|^2+b/a*\overline{z}+\overline{b}/a*z [/mm] + c=0
Die Mittelpunktsgl. aufgeloest wie dus gemacht hast:
II) [mm] |z|^2 -\overline{z_m}*z-z_m*\overline{z} +(|z_m|^2-r^2)=0
[/mm]
durch Vergleich der 3 Koeff von z, [mm] \overline{z} [/mm] und dem absoluten glied
folgt : [mm] -z_m=b/a [/mm] und [mm] (|z_m|^2-r^2)=c
[/mm]
Gruss leduart
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> Hallo
> obere Gleichung:
>
> I) [mm]|z|^2+b/a*\overline{z}+\overline{b}/a*z[/mm] + c=0
> Die Mittelpunktsgl. aufgeloest wie dus gemacht hast:
>
> II) [mm]|z|^2 -\overline{z_m}*z-z_m*\overline{z} +(|z_m|^2-r^2)=0[/mm]
>
> durch Vergleich der 3 Koeff von z, [mm]\overline{z}[/mm] und dem
> absoluten glied
> folgt : [mm]-z_m=b/a[/mm] und [mm](|z_m|^2-r^2)=c[/mm]
> Gruss leduart
Ich erhalte da andere Ergebnisse:
[mm] c=ar^2-\bruch{|b|^2}{a}
[/mm]
und dann
[mm] r=\wurzel{\bruch{ac+|b|^2}{a^2}} [/mm]
Deine und meine Resultate sind wohl nicht
miteinander verträglich.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mi 12.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Danke fuer die Korrektur!
in meinem Artikel muss statt c=..., [mm] c/a=z_m^^2-r^2 [/mm] stehen. sonst stimmen die Ergebnisse ueberein.
Gruss leduart
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